「管理数学基础」2.1 泛函分析：距离空间及其完备性
作者：互联网
距离空间及其完备性
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首先明确泛函的研究对象：
- 空间：赋予了某种数学结构的非空集合
- 算子：两个集合间的映射
距离与距离空间
定义：距离
分析：
- 判断是否为距离，即判断 d d d是否满足上述三个性质
- 是任取 x , y ∈ X x,y \in X x,y∈X
- 一般可以用“ d ( x , y ) = 0 d(x,y)=0 d(x,y)=0但 x ≠ y x \neq y x=y”来反证不是距离
- 此外，也可以用特殊的 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)带到三角不等式里面，举反例
例题1：是否为距离
分析：
- 依次检验三条性质即可
- 答案写得不标准，应该有
任取x , y ∈ C [ a , b ] x,y \in C[a,b] x,y∈C[a,b]
例题2：是否为距离
分析：利用了反例，三角不等式。
定义：距离空间
定义了距离 d d d的非空集合 X X X，称为距离空间，可简记为 ( X , d ) (X,d) (X,d)。
例题3：讨论以下定义是否为距离
(1) 易征，略。
(2) 的第三条性质“三角不等式”需要额外推导一下。
分析：为了引出 d ( x , y ) d(x,y) d(x,y)与 z z z的关系，特意设定了如上我用红框标注的关系： a i = x i − z i a_i = x_i - z_i ai=xi−zi， b i = z i − y i b_i = z_i - y_i bi=zi−yi。
(3)
有句话值得琢磨：由(2)、(3)可见，在同一空间 R n R^n Rn上，可以定义不同的距离（ ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} ∑i=1n(xi−yi)2 和 ∑ 1 n ∣ x i − y i ∣ \sum_1^n |x_i - y_i| ∑1n∣xi−yi∣），从而构成不同的距离空间。
上述这句话码提示了我们：距离空间与距离密切相关，距离定义了距离空间。
(4)
分析：
- 这个值得注意，这里的距离
不是两个点的距离，而是两个函数的距离 - 注意，
min
a
≤
t
≤
b
∣
x
(
t
)
−
y
(
t
)
∣
=
0
\min_{a\le t \le b}|x(t) - y(t)|=0
mina≤t≤b∣x(t)−y(t)∣=0中，这个
min
\min
min是针对
t
t
t而言的
- 这就是说只要有一处 t = t 0 t=t_0 t=t0，使得 x ( t 0 ) = y ( t 0 ) x(t_0)=y(t_0) x(t0)=y(t0)，那么就会有 min a ≤ t ≤ b ∣ x ( t ) − y ( t ) ∣ = 0 \min_{a\le t \le b}|x(t) - y(t)|=0 mina≤t≤b∣x(t)−y(t)∣=0，如上图两条曲线有一个交点
- 但这就与“ d ( x , y ) = 0 d(x,y)=0 d(x,y)=0互为充要条件 x = y x = y x=y”不符合，因为 x ( t ) x(t) x(t)与 y ( t ) y(t) y(t)只在 t = t 0 t=t_0 t=t0处相等，并非 x ( t ) = y ( t ) x(t)=y(t) x(t)=y(t)两个函数相等
(5)
距离空间的完备性
定义：点列的极限
定义与性质：柯西列
分析：
- 点列收敛，一定是柯西列（证明中利用了距离的性质）
- 柯西列不一定收敛
- 柯西列可以理解为两个点都向远处跑，二者距离为0（ d ( x n , x m ) → 0 ; m , n → ∞ d(x_n,x_m)\to 0;m,n\to \infty d(xn,xm)→0;m,n→∞）
例子：是柯西列，但是不收敛。
如上两个例题，并没有说该柯西列不收敛到某个数，而是收敛后不属于该空间了。因此说，不收敛。
完备性
定义：若 X X X中任意柯西列均收敛，则称 ( X , d ) (X,d) (X,d)是完备的距离空间。即： X X X对极限运算封闭。
即：柯西列在该空间收敛，该空间完备。
重要定理：R1柯西列完备
这个在证明完备性的例题种很常用。
例题4&5：证明距离空间完备
例题4
例题5
分析：
- 先证明是柯西列
- 再任取一个维度，利用 R 1 R^1 R1完备的特点，得出 lim k x i ( k ) = x , i = 1 , . . . , n \lim_k x_i^{(k)}=x,i=1,...,n limkxi(k)=x,i=1,...,n
- 再带回去得到 x = ( x 1 , . . . , x n ) T ; d ( x k , x ) → 0 ; k → ∞ x=(x_1, ..., x_n)^T;d(x_k,x)\to 0;k\to \infty x=(x1,...,xn)T;d(xk,x)→0;k→∞
例题：证明离散距离空间是完备的
分析：
- 因为是离散距离空间，因此如果二者 d → 0 d\to 0 d→0
- 则说明两个点也相等，则有 x m = x k x_m = x_k xm=xk
- 那这里可以按住一个点，比如设 m > k m>k m>k，按住 k k k， x k x_k xk则为收敛判定 lim k x m = x k ; m → ∞ \lim_k x_m=x_k;m \to \infty limkxm=xk;m→∞中的常数
标签：完备,定义,距离,柯西,泛函,空间,2.1,例题 来源： https://blog.csdn.net/weixin_42815609/article/details/111054069