苏州大学2020年高等代数考研试题参考解答

苏州大学2020年高等代数考研试题参考解答

1、 (25 分) 已知 是欧氏空间 中的一组标准正交基, @跟锦数学微信公众号

是由 生成的子空间, 求 和 的一组标准正交基. 参考解答

2、 (25 分) 已知 @跟锦数学微信公众号

(1)、 求 的初等因子, 不变因子, Jordan 标准形; (2)、 求可逆矩阵 , 使得 为 Jordan 标准形. 参考解答

3、 (20 分) 已知 是数域 上的 维线性空间 上的线性变换. (1)、 证明: 若存在 , 使得 @跟锦数学微信公众号

线性无关, 则 的特征多项式和最小多项式相同; (2)、 试问 (1) 的逆命题是否成立? 并说明理由. 参考解答

4、 (20 分) 已知实数域上欧氏空间 的对称变换 在一组标准正交基 下的矩阵为 . 证明: (1)、 存在实数 , 使得 为正定矩阵; (2)、 若 是首一 次实系数多项式, 且无实根, 则对等任意的 , 都有 @跟锦数学微信公众号

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5、 (20 分) 是数域 上 维线性空间 的线性变换. 证明: (1)、 当且仅当 ; (2)、 存在 , 使得 @跟锦数学微信公众号

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6、 (20 分) 若 阶方阵 满足 @跟锦数学微信公众号

证明: (1)、 ; (2)、 相似于对角阵; (3)、 若 有特征值 , 且 是 的属于特征值 的特征向量, 则方程组 无解. 参考解答

7、 (20 分) 阶实矩阵 的特征值全为实数当且仅当存在正交矩阵 , 使得 是上三角矩阵. 参考解答