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Codeforces1453F Even Harder

2020-12-06 09:03:12 作者：互联网

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题目大意

给定 $n$ 个关卡 , 第 $i$ 个关卡有个权值为 $ai$ 的传送门

当你在第 $i$ 个关卡时 , 如果 $ai = 0$ 并且 $i!=n$ ，则你闯关失败

否则你可以跳到 $i + 1$ ~ $i + ai$ 中的任意关卡 ( $ai + i <= n$ )

当你到达第 $n$ 关时，闯关结束

但为了增加闯关难度，系统要求你删除最少的传送门( 即令 $ai = 0$ )

使得从第一关开始，有且仅有一条可行的通关路线

解题思路

定义 $dp[i][x]$ 为最小删除次数 , 使得从起点出发 , 只有一条可行路 , 这条可行路的终点为 $i$

$i$ 点的上一个点 (设为 $j$) 最远能到达的位置是 $x$ (其中 $j + a[j] >= i$)

因为上一个点是 $j$ , 且只有一条路

那么对于 $k ∈[1,j-1]$ , 如果 $k + a[k] >= i$ ，需要把 $k$ 删除

对于 $k ∈[j + 1 , i - 1]$ 如果 $k + a[k] >= i$ ，需要把 $k$ 删除

记 $1$ ~ $j-1$ 需要删除的 $k$ 的个数为 $pre$ , $j+1$ ~ $i-1$ 需要删除的 $k$ 的个数为 $suf$

那么 $dp[i][j + a[j]] = pre + suf $

对于 $suf$ 可以从 $i - 1$ 到 $1$ 枚举，每次碰到一个 $k + a[k] >= i，suf ++$

对于 $pre$ 它等于 $min( dp[j][i - 1] , dp[j][i - 2] ... dp[j][1])$

其含义如下：

最小删除次数

使得从起点出发，有一条可行路 , 这条可行路的终点为 $j$

而 $j$ 点的上一个点 $k$ 最远能到达的位置是 $i-1、i-2、i-3 ... 1$ (即 $a[k] + k < i$)

对于 $pre$ 的转移如果需要枚举 $i - 1 , i - 2 , ... , 1$ 那么就多了一层循环 , $Tle$ 警告

而不难发现我们只需要找到最小的满足条件 $a[k] + k < i$ 的 $dp[j][x] , x ∈[1 , i - 1]$

所以我们可以维护一个前缀最小值 , 即 $dp[i][j] = min(dp[i][j] , dp[i][j - 1] $

那么显然 $pre = dp[j][i - 1]$

最后答案为 $dp[n][n]$ (从起点开始只有一条可行路线 , 路的终点为 $n$ , $n$ 的上一个点最远能达到的距离为 $n$)

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3e3 + 10;
int n , a[N] , dp[N][N];
signed main()
{
	int T = 1;
	cin >> T;
	while(T --)
	{
		cin >> n;
		for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) cin >> a[i];
		for(int i = 2 ; i <= n ; i ++) for(int j = 1 ; j <= n ; j ++) dp[i][j] = 2e9; //起点不能删除所以从 2 开始 
		for(int i = 2 ; i <= n ; i ++)
		{
			int suf = 0;
			for(int j = i - 1 ; j >= 1 ; j --)
			{
				if(j + a[j] >= i)
				{
					int pre = dp[j][i - 1];
					dp[i][j + a[j]] = min(dp[i][j + a[j]] , pre + suf);
					suf ++ ; 	
				} 
		 	}
			for(int j = i ; j <= n ; j ++) dp[i][j] = min(dp[i][j] , dp[i][j - 1]);
		}
		cout << dp[n][n] << '\n';
	}
	return 0;
}

标签：Even,pre,Codeforces1453F,删除,suf,int,Harder,ai,dp
来源： https://www.cnblogs.com/StarRoadTang/p/14091911.html