多项式时间 (Polynomial time)

什么是时间复杂度？

时间复杂度并不是表示一个程序解决问题需要花多少时间，而是当程序所处理的问题规模扩大后，程序需要的时间长度对应增长得有多快。也就是说，对于某一个程序，其处理某一个特定数据的效率不能衡量该程序的好坏，而应该看当这个数据的规模变大到数百倍后，程序运行时间是否还是一样，或者也跟着慢了数百倍，或者变慢了数万倍。

不管数据有多大，程序处理所花的时间始终是那么多的，我们就说这个程序很好，具有 O ( 1 ) O(1) O(1) 的时间复杂度，也称常数级复杂度；数据规模变得有多大，花的时间也跟着变得有多长，比如找n个数中的最大值这个程序的时间复杂度就是 O ( n ) O(n) O(n)，为线性级复杂度，而像冒泡排序、插入排序等，数据扩大2倍，时间变慢4倍的，时间复杂度是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，为平方级复杂度。还有一些穷举类的算法，所需时间长度成几何阶数上涨，这就是 O ( a n ) O(a^n) O(an) 的指数级复杂度，甚至 O ( n ! ) O(n!) O(n!) 的阶乘级复杂度。

不会存在 O ( 2 ∗ n 2 ) O(2*n^2) O(2∗n2) 的复杂度，因为前面的那个"2"是系数，根本不会影响到整个程序的时间增长。同样地， O ( n 3 + n 2 ) O(n^3+n^2) O(n3+n2) 的复杂度也就是 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)的复杂度。因此，我们会说，一个 O ( 0.01 ∗ n 3 ) O(0.01*n^3) O(0.01∗n3)的程序的效率比 O ( 100 ∗ n 2 ) O(100*n^2) O(100∗n2) 的效率低，尽管在n很小的时候，前者优于后者，但后者时间随数据规模增长得慢，最终 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3) 的复杂度将远远超过 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。我们也说， O ( n 100 ) O(n^{100}) O(n100) 的复杂度小于 O ( 1.0 1 n ) O(1.01^n) O(1.01n) 的复杂度。

容易看出，前面的几类复杂度被分为两种级别，其中后者的复杂度无论如何都远远大于前者。像 O ( 1 ) O(1) O(1), O ( ln ⁡ ( n ) ) O(\ln(n)) O(ln(n)), O ( n a ) O(n^a) O(na)等，我们把它叫做多项式级复杂度，因为它的规模n出现在底数的位置；另一种像是 O ( a n ) O(a^n) O(an) 和 O ( n ! ) O(n!) O(n!) 等，它是非多项式级的复杂度，其复杂度计算机往往不能承受。当我们在解决一个问题时，我们选择的算法通常都需要是多项式级的复杂度，非多项式级的复杂度需要的时间太多，往往会超时，除非是数据规模非常小。

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