组队学习Numpy下--Task04线性代数
作者：互联网
线性代数
Numpy 定义了 matrix 类型，使用该 matrix 类型创建的是矩阵对象，它们的加减乘除运算缺省采用矩阵方式计算，因此用法和Matlab十分类似。但是由于 NumPy 中同时存在 ndarray 和 matrix 对象，因此用户很容易将两者弄混。这有违 Python 的“显式优于隐式”的原则，因此官方并不推荐在程序中使用 matrix。在这里，我们仍然用 ndarray 来介绍。
矩阵和向量积
矩阵的定义、矩阵的加法、矩阵的数乘、矩阵的转置与二维数组完全一致，不再进行说明，但矩阵的乘法有不同的表示。
numpy.dot(a, b[, out])计算两个矩阵的乘积，如果是一维数组则是它们的内积。
【例1】
import numpy as np
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 3, 4, 5, 6])
z = np.dot(x, y)
print(z) # 70
x = np.array([[1, 2, 3], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])
print(x)
# [[1 2 3]
# [3 4 5]
# [6 7 8]]
y = np.array([[5, 4, 2], [1, 7, 9], [0, 4, 5]])
print(y)
# [[5 4 2]
# [1 7 9]
# [0 4 5]]
z = np.dot(x, y)
print(z)
# [[ 7 30 35]
# [ 19 60 67]
# [ 37 105 115]]
z = np.dot(y, x)
print(z)
# [[ 29 40 51]
# [ 76 93 110]
# [ 42 51 60]]
注意：在线性代数里面讲的维数和数组的维数不同，如线代中提到的n维行向量在 Numpy 中是一维数组，而线性代数中的n维列向量在 Numpy 中是一个shape为(n, 1)的二维数组。
矩阵特征值与特征向量
numpy.linalg.eig(a) 计算方阵的特征值和特征向量。
numpy.linalg.eigvals(a) 计算方阵的特征值。
【例1】求方阵的特征值特征向量
import numpy as np
# 创建一个对角矩阵！
x = np.diag((1, 2, 3))
print(x)
# [[1 0 0]
# [0 2 0]
# [0 0 3]]
print(np.linalg.eigvals(x))
# [1. 2. 3.]
a, b = np.linalg.eig(x)
# 特征值保存在a中，特征向量保存在b中
print(a)
# [1. 2. 3.]
print(b)
# [[1. 0. 0.]
# [0. 1. 0.]
# [0. 0. 1.]]
# 检验特征值与特征向量是否正确
for i in range(3):
if np.allclose(a[i] * b[:, i], np.dot(x, b[:, i])):
print('Right')
else:
print('Error')
# Right
# Right
# Right
【例2】判断对称阵是否为正定阵（特征值是否全部为正）。
import numpy as np
A = np.arange(16).reshape(4, 4)
print(A)
# [[ 0 1 2 3]
# [ 4 5 6 7]
# [ 8 9 10 11]
# [12 13 14 15]]
A = A + A.T # 将方阵转换成对称阵
print(A)
# [[ 0 5 10 15]
# [ 5 10 15 20]
# [10 15 20 25]
# [15 20 25 30]]
B = np.linalg.eigvals(A) # 求A的特征值
print(B)
# [ 6.74165739e+01 -7.41657387e+00 1.82694656e-15 -1.72637110e-15]
# 判断是不是所有的特征值都大于0，用到了all函数，显然对称阵A不是正定的
if np.all(B > 0):
print('Yes')
else:
print('No')
# No
矩阵分解
奇异值分解
有关奇异值分解的原理：奇异值分解（SVD）及其应用 1
u, s, v = numpy.linalg.svd(a, full_matrices=True, compute_uv=True, hermitian=False)奇异值分解
a 是一个形如(M,N)矩阵
full_matrices的取值是为False或者True，默认值为True，这时u的大小为(M,M)，v的大小为(N,N)。否则u的大小为(M,K)，v的大小为(K,N) ，K=min(M,N)。
compute_uv的取值是为False或者True，默认值为True，表示计算u,s,v。为False的时候只计算s。
总共有三个返回值u,s,v，u大小为(M,M)，s大小为(M,N)，v大小为(N,N)，a = u*s*v。
其中s是对矩阵a的奇异值分解。s除了对角元素不为0，其他元素都为0，并且对角元素从大到小排列。s中有n个奇异值，一般排在后面的比较接近0，所以仅保留比较大的r个奇异值。
注：Numpy中返回的v是通常所谓奇异值分解a=usv’中v的转置。
【例1】
import numpy as np
A = np.array([[4, 11, 14], [8, 7, -2]])
print(A)
# [[ 4 11 14]
# [ 8 7 -2]]
u, s, vh = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)
print(u.shape) # (2, 2)
print(u)
# [[-0.9486833 -0.31622777]
# [-0.31622777 0.9486833 ]]
print(s.shape) # (2,)
print(np.diag(s))
# [[18.97366596 0. ]
# [ 0. 9.48683298]]
print(vh.shape) # (2, 3)
print(vh)
# [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667]
# [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]]
a = np.dot(u, np.diag(s))
a = np.dot(a, vh)
print(a)
# [[ 4. 11. 14.]
# [ 8. 7. -2.]]
【例2】
import numpy as np
A = np.array([[1, 1], [1, -2], [2, 1]])
print(A)
# [[ 1 1]
# [ 1 -2]
# [ 2 1]]
u, s, vh = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)
print(u.shape) # (3, 2)
print(u)
# [[-5.34522484e-01 -1.11022302e-16]
# [ 2.67261242e-01 -9.48683298e-01]
# [-8.01783726e-01 -3.16227766e-01]]
print(s.shape) # (2,)
print(np.diag(s))
# [[2.64575131 0. ]
# [0. 2.23606798]]
print(vh.shape) # (2, 2)
print(vh)
# [[-0.70710678 -0.70710678]
# [-0.70710678 0.70710678]]
a = np.dot(u, np.diag(s))
a = np.dot(a, vh)
print(a)
# [[ 1. 1.]
# [ 1. -2.]
# [ 2. 1.]]
QR分解
q,r = numpy.linalg.qr(a, mode='reduced')计算矩阵a的QR分解。
a是一个(M, N)的待分解矩阵。
mode = reduced：返回(M, N)的列向量两两正交的矩阵q，和(N, N)的三角阵r（Reduced QR分解）。
mode = complete：返回(M, M)的正交矩阵q，和(M, N)的三角阵r（Full QR分解）。
【例1】
import numpy as np
A = np.array([[2, -2, 3], [1, 1, 1], [1, 3, -1]])
print(A)
# [[ 2 -2 3]
# [ 1 1 1]
# [ 1 3 -1]]
q, r = np.linalg.qr(A)
print(q.shape) # (3, 3)
print(q)
# [[-0.81649658 0.53452248 0.21821789]
# [-0.40824829 -0.26726124 -0.87287156]
# [-0.40824829 -0.80178373 0.43643578]]
print(r.shape) # (3, 3)
print(r)
# [[-2.44948974 0. -2.44948974]
# [ 0. -3.74165739 2.13808994]
# [ 0. 0. -0.65465367]]
print(np.dot(q, r))
# [[ 2. -2. 3.]
# [ 1. 1. 1.]
# [ 1. 3. -1.]]
a = np.allclose(np.dot(q.T, q), np.eye(3))
print(a) # True
【例2】
import numpy as np
A = np.array([[1, 1], [1, -2], [2, 1]])
print(A)
# [[ 1 1]
# [ 1 -2]
# [ 2 1]]
q, r = np.linalg.qr(A, mode='complete')
print(q.shape) # (3, 3)
print(q)
# [[-0.40824829 0.34503278 -0.84515425]
# [-0.40824829 -0.89708523 -0.16903085]
# [-0.81649658 0.27602622 0.50709255]]
print(r.shape) # (3, 2)
print(r)
# [[-2.44948974 -0.40824829]
# [ 0. 2.41522946]
# [ 0. 0. ]]
print(np.dot(q, r))
# [[ 1. 1.]
# [ 1. -2.]
# [ 2. 1.]]
a = np.allclose(np.dot(q, q.T), np.eye(3))
print(a) # True
【例3】
import numpy as np
A = np.array([[1, 1], [1, -2], [2, 1]])
print(A)
# [[ 1 1]
# [ 1 -2]
# [ 2 1]]
q, r = np.linalg.qr(A)
print(q.shape) # (3, 2)
print(q)
# [[-0.40824829 0.34503278]
# [-0.40824829 -0.89708523]
# [-0.81649658 0.27602622]]
print(r.shape) # (2, 2)
print®
# [[-2.44948974 -0.40824829]
# [ 0. 2.41522946]]
print(np.dot(q, r))
# [[ 1. 1.]
# [ 1. -2.]
# [ 2. 1.]]
a = np.allclose(np.dot(q.T, q), np.eye(2))
print(a) # True （说明q为正交矩阵）
Cholesky分解
L = numpy.linalg.cholesky(a) 返回正定矩阵a的 Cholesky 分解a = L*L.T，其中L是下三角。
【例1】
import numpy as np
A = np.array([[1, 1, 1, 1], [1, 3, 3, 3],
[1, 3, 5, 5], [1, 3, 5, 7]])
print(A)
# [[1 1 1 1]
# [1 3 3 3]
# [1 3 5 5]
# [1 3 5 7]]
print(np.linalg.eigvals(A))
# [13.13707118 1.6199144 0.51978306 0.72323135]
L = np.linalg.cholesky(A)
print(L)
# [[1. 0. 0. 0. ]
# [1. 1.41421356 0. 0. ]
# [1. 1.41421356 1.41421356 0. ]
# [1. 1.41421356 1.41421356 1.41421356]]
print(np.dot(L, L.T))
# [[1. 1. 1. 1.]
# [1. 3. 3. 3.]
# [1. 3. 5. 5.]
# [1. 3. 5. 7.]]
范数和其它数字
矩阵的范数
numpy.linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False) 计算向量或者矩阵的范数。
根据ord参数的不同，计算不同的范数：
image
image692×312 23.8 KB
【例1】求向量的范数。
import numpy as np
x = np.array([1, 2, 3, 4])
print(np.linalg.norm(x, ord=1))
# 10.0
print(np.sum(np.abs(x)))
# 10
print(np.linalg.norm(x, ord=2))
# 5.477225575051661
print(np.sum(np.abs(x) ** 2) ** 0.5)
# 5.477225575051661
print(np.linalg.norm(x, ord=-np.inf))
# 1.0
print(np.min(np.abs(x)))
# 1
print(np.linalg.norm(x, ord=np.inf))
# 4.0
print(np.max(np.abs(x)))
# 4
【例2】求矩阵的范数
import numpy as np
A = np.array([[1, 2, 3, 4], [2, 3, 5, 8],
[1, 3, 5, 7], [3, 4, 7, 11]])
print(A)
# [[ 1 2 3 4]
# [ 2 3 5 8]
# [ 1 3 5 7]
# [ 3 4 7 11]]
print(np.linalg.norm(A, ord=1)) # 30.0
print(np.max(np.sum(A, axis=0))) # 30
print(np.linalg.norm(A, ord=2))
# 20.24345358700576
print(np.max(np.linalg.svd(A, compute_uv=False)))
# 20.24345358700576
print(np.linalg.norm(A, ord=np.inf)) # 25.0
print(np.max(np.sum(A, axis=1))) # 25
print(np.linalg.norm(A, ord='fro'))
# 20.273134932713294
print(np.sqrt(np.trace(np.dot(A.T, A))))
# 20.273134932713294
方阵的行列式
numpy.linalg.det(a) 计算行列式。
【例】计算行列式。
import numpy as np
x = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print(x)
# [[1 2]
# [3 4]]
print(np.linalg.det(x))
# -2.0000000000000004
矩阵的秩
numpy.linalg.matrix_rank(M, tol=None, hermitian=False) 返回矩阵的秩。
【例】计算矩阵的秩。
import numpy as np
I = np.eye(3) # 先创建一个单位阵
print(I)
# [[1. 0. 0.]
# [0. 1. 0.]
# [0. 0. 1.]]
r = np.linalg.matrix_rank(I)
print(r) # 3
I[1, 1] = 0 # 将该元素置为0
print(I)
# [[1. 0. 0.]
# [0. 0. 0.]
# [0. 0. 1.]]
r = np.linalg.matrix_rank(I) # 此时秩变成2
print(r) # 2
矩阵的迹
numpy.trace(a, offset=0, axis1=0, axis2=1, dtype=None, out=None) 方阵的迹就是主对角元素之和。
【例】计算方阵的迹。
import numpy as np
x = np.array([[1, 2, 3], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])
print(x)
# [[1 2 3]
# [3 4 5]
# [6 7 8]]
y = np.array([[5, 4, 2], [1, 7, 9], [0, 4, 5]])
print(y)
# [[5 4 2]
# [1 7 9]
# [0 4 5]]
print(np.trace(x)) # A的迹等于A.T的迹
# 13
print(np.trace(np.transpose(x)))
# 13
print(np.trace(x + y)) # 和的迹 等于 迹的和
# 30
print(np.trace(x) + np.trace(y))
# 30
解方程和逆矩阵
逆矩阵（inverse matrix）
设 A 是数域上的一个 n 阶矩阵，若在相同数域上存在另一个 n 阶矩阵 B，使得：AB=BA=E（E 为单位矩阵），则我们称 B 是 A 的逆矩阵，而 A 则被称为可逆矩阵。
numpy.linalg.inv(a) 计算矩阵a的逆矩阵（矩阵可逆的充要条件：det(a) != 0，或者a满秩）。
【例】计算矩阵的逆矩阵。
import numpy as np
A = np.array([[1, -2, 1], [0, 2, -1], [1, 1, -2]])
print(A)
# [[ 1 -2 1]
# [ 0 2 -1]
# [ 1 1 -2]]
# 求A的行列式，不为零则存在逆矩阵
A_det = np.linalg.det(A)
print(A_det)
# -2.9999999999999996
A_inverse = np.linalg.inv(A) # 求A的逆矩阵
print(A_inverse)
# [[ 1.00000000e+00 1.00000000e+00 -1.11022302e-16]
# [ 3.33333333e-01 1.00000000e+00 -3.33333333e-01]
# [ 6.66666667e-01 1.00000000e+00 -6.66666667e-01]]
x = np.allclose(np.dot(A, A_inverse), np.eye(3))
print(x) # True
x = np.allclose(np.dot(A_inverse, A), np.eye(3))
print(x) # True
A_companion = A_inverse * A_det # 求A的伴随矩阵
print(A_companion)
# [[-3.00000000e+00 -3.00000000e+00 3.33066907e-16]
# [-1.00000000e+00 -3.00000000e+00 1.00000000e+00]
# [-2.00000000e+00 -3.00000000e+00 2.00000000e+00]]
求解线性方程组
numpy.linalg.solve(a, b) 求解线性方程组或矩阵方程。
【例】求解线性矩阵方程
# x + 2y + z = 7
# 2x - y + 3z = 7
# 3x + y + 2z =18
import numpy as np
A = np.array([[1, 2, 1], [2, -1, 3], [3, 1, 2]])
b = np.array([7, 7, 18])
x = np.linalg.solve(A, b)
print(x) # [ 7. 1. -2.]
x = np.linalg.inv(A).dot(b)
print(x) # [ 7. 1. -2.]
y = np.allclose(np.dot(A, x), b)
print(y) # True
参考文献
https://www.cnblogs.com/moon1992/p/4960700.html
https://www.cnblogs.com/moon1992/p/4948793.html
练习
（1）计算两个数组a和数组b之间的欧氏距离。
a = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
b = np.array([4, 5, 6, 7, 8])
【知识点：数学函数、线性代数】
如何计算两个数组之间的欧式距离？
（2）计算矩阵的行列式和矩阵的逆
【知识点：线性代数】
np.diag([5,5,5,5,5])
array([[5, 0, 0, 0, 0],
[0, 5, 0, 0, 0],
[0, 0, 5, 0, 0],
[0, 0, 0, 5, 0],
[0, 0, 0, 0, 5]])
（3）给定矩阵A和数组b，求解线性方程组：
【知识点：线性代数】
import numpy as np
A=np.array([[1, -2, 1],[0 ,2 ,-8],[-4, 5 ,9]])
b=np.array([0,8,-9])
（4）给定矩阵A[[4,-1,1],[-1,3,-2],[1,-2,3]]计算特征值和特征向量
【知识点：线性代数】
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hanhuijin
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关于求解矩阵特征值与特征向量
幂法
import numpy as np
a = [[4,-1,1],[-1,3,-2],[1,-2,3]]#系数矩阵
A = np.mat(a)
N = len(A)
# U = np.mat([1]*N).T
# V = np.mat([1]*N).T
U = np.mat([0,1,1]).T
V = np.mat([0,1,1]).T
sigma = 0.000001#精度
M = 1000#最大迭代次数
m = 1
k = 0
before = m
while(k<M):
before = m
V = A*U
m = max(V)#[0,0]
U = V/m
if(abs(m-before)<sigma):
print("特征值为",(m),sep='\n')
print("特征向量为",(U),sep='\n')
break
k += 1
if k==M:
print('计算失败，k=',k)
反幂法
import numpy as np
a = [[4,-1,1],[-1,3,-2],[1,-2,3]]#系数矩阵
N = len(a)
A = np.mat(a)
U = np.mat([1]*N).T
V = np.mat([1]*N).T
sigma = 0.000001#精度
M = 1000#最大迭代次数
m = 1
k = 0
before = m
while(k<M):
before = m
V = A.I*U
m = max(V)[0,0]
U = V/m
if(abs(m-before)<sigma):
print("特征值为",(1/m),sep='\n')
print("特征向量为",(U),sep='\n')
break
k += 1
if k==M:
print('计算失败，k=',k)
原点平移加速法
import numpy as np
# a = [[4,-1,1],[-1,3,-2],[1,-2,3]]#系数矩阵
a = [[4,-1,1],[-1,3,-2],[1,-2,3]]#系数矩阵
N = len(a)
#原点加速法:
step = 2.5
for i in range(N):
a[i][i] -=step
A = np.mat(a)
U = np.mat([1]*N).T
V = np.mat([1]*N).T
sigma = 0.000001#精度
M = 1000#最大迭代次数
m = 1
k = 0
before = m
while(k<M):
before = m
V = A*U
m = max(V)[0,0]
U = V/m
if(abs(m-before)<sigma):
print("特征值为",(1/m),sep='\n')
print("特征向量为",(U),sep='\n')
break
k += 1
if k==M:
print('计算失败，k=',k)
Numpy
import numpy as np
a = [[4,-1,1],[-1,3,-2],[1,-2,3]]#系数矩阵
N = len(a)
A = np.mat(a)
#计算特征值
print(np.linalg.eigvals(A))
#计算特征向量
print(np.linalg.eig(A))
标签：linalg,--,numpy,矩阵,print,np,array,Numpy,Task04 来源： https://blog.csdn.net/patricstarcool/article/details/110356601