NOIP--数据结构与图论-习题详解（树，二叉树，堆）
作者：互联网
1. 例题解析：
例题2-1：树网的核（NOIP2007）
【问题描述】设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边到有正整数的权，我们称T为树网（treebetwork），其中V，E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。
路径：树网中任何两结点a，b都存在唯一的一条简单路径，用d(a, b)表示以a, b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a, b)为a, b两结点间的距离。
D(v, P)=min{d(v,u), u为路径P上的结点}。
树网的直径：树网中最长的路径成为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。
偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即
ECC(F)=max{d(v,F)，v∈V}
任务：对于给定的树网T=(V, E, W)和非负整数s，求一个路径F，他是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V,E, W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。
下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。
【输入】输入第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数，s为树网的核的长度的上界。设结点编号以此为1，2，……，n。
从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“24 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。
所给的数据都是正确的，不必检验。
【输出】输出只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。
【样例输入】
5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3
【样例输出】
5
【说明】
40%的数据满足：5<=n<=15
70%的数据满足：5<=n<=80
100%的数据满足：5<=n<=300，0<=s<=1000。边长度为不超过1000的正整数
【分析】对于该问题，即求解一条边上的一个点，使得这个点到所有点的距离最大值最短。因此，我们可以枚举一条边，以这条边的端点为树根，建立两棵子树，计算子树中与根节点最远的节点的距离，最后计算出偏心距。令边x连接节点i和j，边x的长度为len[x]，则：
计算一棵树中与根节点最远的节点的距离，可用后根遍历方式，遍历到节点k时，
综上，枚举需要O(n)次，计算距离需要O(n)次，整体复杂度为O(n2)。
例题2-2：求第k大的数
【问题描述】在上课的时候，老师讲了一下求第k大的数的线性解法。小明觉得这个算法好厉害，但是想了一下，如果这些数字是依次输入，然后需要在任意时刻输出当前数组第k大的数，那该怎么办呢。于是他就想到了你，让你编程来完成上述操作。
程序有如下两种操作：
（1）添加一个数到数组中
（2）查询当前数组中第k大的数
【输入】第一行为n, k（n为操作数目，k为题目中的k值，n<=100000）
第二行到第n+1行，每一行有两种情况，如果是数字，则表示添加该数字到数组，如果是字符‘Q’，则表示查询第k大的数。
【输出】对于所有查询操作，输出对应的值，用空行分开。
【样例输入】
10 3
1
5
3
Q
8
4
Q
9
2
Q
【样例输出】
1
4
5
【分析】本题为堆的一个应用。由于本题中需要维护第k大的值，可建立一个大小为k的小根堆。当堆中元素个数不满k个时，在插入元素时，直接将其插入堆并调整即可；当堆中元素等于k个时，在插入元素时，判断与堆顶元素的大小，若大于堆顶元素，则替换堆顶元素，并调整。查找时，直接输出堆顶元素。
时间复杂度为O(N log K)。
NOIP信息学视频地址
视频地址
链接：https://pan.baidu.com/s/1tHo1DFMaDuMZAemNH60dmw
提取码：7jgr
标签：树网,输出,结点,NOIP,路径,偏心,二叉树,长度,习题 来源： https://www.cnblogs.com/yyjy-edu/p/13863168.html