组合计数中的q-模拟 q analog
作者：互联网
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引言
在组合计数中q-模拟有什么用？它是研究组合统计量如何分布的工具
维基词条 https://en.wikipedia.org/wiki/Q-analog
网上找到的课件 http://people.qc.cuny.edu/faculty/christopher.hanusa/courses/636fa12/Documents/636fa12ch92c.pdf
定义
一个数\(c\)的q-模拟就是：一个表达式\(f(q)\)，满足\(lim_{q\to1}f(q)=c\)
常见的q-模拟往往是级数的形式，或者级数的四则运算（或者级数退化为多项式）
例子
正整数\(n\)
就是形式级数\(f(q)=1+q+q^2+..+q^{n-1}\)
满足\(lim_{q\to1}f(q)=n\)
记作\([n]_q\)
逆序对研究和q-factorial
\[\sum_{\pi \in S_{n}} q^{\mathrm{inv}(\pi)}=[n]_{q} \cdots[1]_{q}=:[n]_{q} !=|S_n| \]
q-binomial
\[\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right]_{q}=\frac{[n]_{q} !}{[k]_{q} ![n-k]_{q} !} \]
\[\lim _{q \rightarrow 1}\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right]_{q}=\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) \]
推广 q-binamial
\[\left[\begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\ m_1,m_2,...,m_k \end{array}\right]_{q}=\frac{[n]_{q} !}{[m_1]_{q} ![m_2]_{q} !...[m_k]_{q} !} \]
\[\lim _{q \rightarrow 1}\left[\begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\ m_1,m_2,...,m_k \end{array}\right]_{q}=\left(\begin{array}{l} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n \\ m_1,m_2,...,m_k \end{array}\right) \]
q-exponential
\[e_{q}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{[n]_{q} !} \]
q-模拟的一些性质
下面的等式当\(q\to 1\)时都变成著名的组合恒等式
q-二项式定理
\[\sum_{k=0}^{n} q^{\tbinom{k }{2}}\left[\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right]_{q}x^{k}=\prod_{i=0}^{n-1}\left(1+x q^{i}\right) \]
q-Vandermorde定理
\[\left[\begin{array}{c} m+n \\ k \end{array}\right]_q=\sum_{i=0}^{k} q^{(m-i)(k-i)}\left[\begin{array}{c} m \\ i \end{array}\right]_q\left[\begin{array}{c} n \\ k-i \end{array}\right]_q, \forall m, n \in \mathbb{N} \]
q-朱世杰恒等式
\[\left[\begin{array}{c} m+n+1 \\ n+1 \end{array}\right]_q=\sum_{i=0}^{m} q^{i}\left[\begin{array}{c} n+i \\ n \end{array}\right]_q, \forall m, n \in \mathbb{N} \]
例题
先空着
标签：begin,right,end,sum,计数,analog,array,模拟,left 来源： https://www.cnblogs.com/yhm138/p/13562508.html