斯特林数及斯特林反演
作者：互联网
上升幂和下降幂
\[x^{\underline{n}}=x(x-1)\cdots (x-n+1)\\x^{\overline {n}}=x(x+1)\cdots (x+n-1) \]
第一类斯特林数
\[\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}+ (n-1)\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix} \]
第一类斯特林数表示 \(n\) 个数形成 \(m\) 个非空轮换的方案数。
当 \(n<k\) 时，\(\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix} =0\) 。
当 \(n=k\) 或 \(k=1\) 时，\(\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}=1\) 。
当 \(k=0\) 且 \(n\ne 0\) 时，\(\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}=0\) 。特别地，\(\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=1\) 。
第二类斯特林数
\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix} =\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}+ k\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix} \]
第二类斯特林数表示 \(n\) 个数形成 \(m\) 个非空集合的方案数。
当 \(n < k\) 时，\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=0\) 。
当 \(n=k\) 或 \(k=1\) 时，\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=1\) 。
当 \(k=0\) 且 \(n\ne 0\) 时，\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=0\) 。特别地，\(\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}=1\) 。
斯特林数与幂
第一类斯特林数通常用于实现上升幂转普通幂
\[x^{\overline{n}}=\sum_{k=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix} x^{k} \]
可以使用递归来证明：
\[\ \ \ \ \sum_{k=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix} x^{k}\\ = \sum_{k=0}^{n}\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}x^{k} +(n-1)\sum_{k=0}^{n}\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix} x^{k}\\ = \sum_{k=0}^{n-1}\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}x^{k} +(n-1)\sum_{k=0}^{n-1}\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix} x^{k}\\ = x\sum_{k=0}^{n-1}\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}x^{k-1} +(n-1)\sum_{k=0}^{n-1}\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix} x^{k} \]
第二类斯特林数通常用于实现普通幂转下降幂
\[x^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}x^{\underline{k}} \]
标签：begin,end,Bmatrix,斯特林,sum,反演,bmatrix,数及 来源： https://www.cnblogs.com/parauni-blog/p/13363091.html