P2617 Dynamic Rankings【树状数组套主席树】
作者：互联网
题意：
给定一个含有 \(n\) 个数的序列 \(a_1,a_2 \dots a_n\)，需要支持两种操作：
Q l r k :表示查询下标在区间 \([l,r]\) 中的第 \(k\) 小的数；
C x y ：表示将 \(a_x\) 改成 \(y\)；
\(1\le n,m \le 10^5,1 \le l \le r \le n,1 \le k \le r-l+1,1\le x \le n,0 \le a_i,y \le 10^9\)
分析：
对于第二种操作，可以直接用主席树解决。但对于单点修改，如果直接套用主席树，根据前缀和的思想，后面的每一棵树都要修改。复杂度巨大。因此，要借助树状数组来解决这个问题。在树状数组中，通过从位置 \(p\) 开始，向前每次 \(+(p\&(-p))\)，可以求出前 \(p\) 项的前缀和。此处，将树看成是点，用树状数组来维护树之间的关系，主席树来维护内部的结构。
在权值上建立主席树，首先要离散化，把原来的序列和之后要更改成的值，存放在一个数组中。同时，把在线变成离线来处理。和一般的主席树不同，在每次要向主席树中加入一个新的值时，要先预处理出会影响的树的编号（利用树状数组的方法）：
void modify(int p,int pos,int w,int n)//树的序号，修改位置，值，树的总数
{
while(p<=n)
{
update(1,len,pos,w,root[p]);
p+=(p&(-p));
}
}
只对有影响的树进行修改。
同时，在向一棵树中插入点时，并没有在前一棵树的基础上建立树。而是直接从该树的根开始，新建立一条链，在区间中对应的位置修改。按此操作对所有影响的数修改。
void update(int l,int r,int pos,int w,int &cnt)
{
if(!cnt) cnt=++tol;
tree[cnt].val+=w;
if(l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
if(pos<=mid) update(l,mid,pos,w,tree[cnt].ls);
else update(mid+1,r,pos,w,tree[cnt].rs);
}
查询时同样，先预处理出相应的树：
void ask(int l,int r)
{
tmp[0][0]=0;
tmp[1][0]=0;
for(int i=r;i>0;i-=(i&(-i)))
tmp[0][++tmp[0][0]]=root[i];
for(int i=l-1;i>0;i-=(i&(-i)))
tmp[1][++tmp[1][0]]=root[i];
}
然后，所有的树一起进行处理：
int query(int l,int r,int k)
{
if(l==r) return l;
int mid=(l+r)>>1,d=0;
for(int i=1;i<=tmp[0][0];i++)
d+=tree[tree[tmp[0][i]].ls].val;
for(int i=1;i<=tmp[1][0];i++)
d-=tree[tree[tmp[1][i]].ls].val;
if(d>=k)
{
for(int i=1;i<=tmp[0][0];i++)
tmp[0][i]=tree[tmp[0][i]].ls;
for(int i=1;i<=tmp[1][0];i++)
tmp[1][i]=tree[tmp[1][i]].ls;
return query(l,mid,k);
}
else
{
for(int i=1;i<=tmp[0][0];i++)
tmp[0][i]=tree[tmp[0][i]].rs;
for(int i=1;i<=tmp[1][0];i++)
tmp[1][i]=tree[tmp[1][i]].rs;
return query(mid+1,r,k-d);
}
}
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int a[N],num[N<<1],tmp[2][N],root[N<<1];//原序列数组,用于离散化的数组,要计算的那logn个数组
struct node
{
int val,ls,rs;
}tree[N*150];//空间很大
struct q
{
int l,r,k;
}sv[N];//记录操作
int tol,len;//点的个数，区间长度
int index(int x)
{
return lower_bound(num+1,num+1+len,x)-num;
}
void update(int l,int r,int pos,int w,int &cnt)
{
if(!cnt) cnt=++tol;
tree[cnt].val+=w;
if(l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
if(pos<=mid) update(l,mid,pos,w,tree[cnt].ls);
else update(mid+1,r,pos,w,tree[cnt].rs);
}
void modify(int p,int pos,int w,int n)//树的序号，修改位置，值，树的总数
{
while(p<=n)
{
update(1,len,pos,w,root[p]);
p+=(p&(-p));
}
}
int query(int l,int r,int k)
{
if(l==r) return l;
int mid=(l+r)>>1,d=0;
for(int i=1;i<=tmp[0][0];i++)
d+=tree[tree[tmp[0][i]].ls].val;
for(int i=1;i<=tmp[1][0];i++)
d-=tree[tree[tmp[1][i]].ls].val;
if(d>=k)
{
for(int i=1;i<=tmp[0][0];i++)
tmp[0][i]=tree[tmp[0][i]].ls;
for(int i=1;i<=tmp[1][0];i++)
tmp[1][i]=tree[tmp[1][i]].ls;
return query(l,mid,k);
}
else
{
for(int i=1;i<=tmp[0][0];i++)
tmp[0][i]=tree[tmp[0][i]].rs;
for(int i=1;i<=tmp[1][0];i++)
tmp[1][i]=tree[tmp[1][i]].rs;
return query(mid+1,r,k-d);
}
}
void ask(int l,int r)
{
tmp[0][0]=0;
tmp[1][0]=0;
for(int i=r;i>0;i-=(i&(-i)))
tmp[0][++tmp[0][0]]=root[i];
for(int i=l-1;i>0;i-=(i&(-i)))
tmp[1][++tmp[1][0]]=root[i];
}
int main()
{
int n,m,cnt=0;
tol=0;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
num[++cnt]=a[i];
}
char op[4];
for(int i=1;i<=m;i++)//离线
{
scanf("%s",op);
if(strcmp(op,"C")==0)
{
scanf("%d%d",&sv[i].l,&sv[i].r);
num[++cnt]=sv[i].r;
sv[i].k=-1;
}
else
scanf("%d%d%d",&sv[i].l,&sv[i].r,&sv[i].k);
}
//离散化：
sort(num+1,num+1+cnt);
len=unique(num+1,num+1+cnt)-num-1;//返回值是去重之后的尾地址
// cout<<"len="<<len<<endl;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int pos=index(a[i]);//cout<<"pos="<<pos<<endl;
modify(i,pos,1,n);
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
if(sv[i].k==-1)
{
int pos=index(a[sv[i].l]);
modify(sv[i].l,pos,-1,n);
a[sv[i].l]=sv[i].r;
pos=index(sv[i].r);
modify(sv[i].l,pos,1,n);
}
else
{
ask(sv[i].l,sv[i].r);
printf("%d\n",num[query(1,len,sv[i].k)]);
}
}
return 0;
}
标签：tmp,cnt,le,树状,int,Rankings,Dynamic,++,P2617 来源： https://www.cnblogs.com/1024-xzx/p/13209220.html