CRT/EXCRT

2020-06-27 20:53:20 作者：互联网

孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。具体的解法可以去参考以下链接这里还有这里其实就是对于一个多次同余方程的求解可以举个例子用数学方法算一下例五：三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
除以3余2和除以7余2的数可以写成21n+2。
21n+2除以5余3，要求21n除以5余1。
21n除以5余1，21除以5余1，要求n除以5余1
（乘数之余等于余数之乘），则n最小取1。
所以满足“除以3余2，除以5余3，除以7余2”的最小的数是21×1+2=23。

标准解法：先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70 ( 注释:此步又称为求"模逆"运算,利用扩展欧几里得法并借助计算机编程可比较快速地求得.当然,对于很小的数,可以直接死算 )。即

15÷7=2……余1，
21÷5=4……余1，
70÷3=23……余1.
再用找到的三个较小数分别乘以所要求的数被7、5、3除所得的余数的积连加，
15×2+21×3+70×2=233. (将233处用i代替，用程序可以求出)
最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数.
233÷105=2……余23，
这个余数23就是合乎条件的最小数.

答案

对于这个我们有两种算法

1 大数翻倍法

#include<algorithm>
//会用到一个很神奇滴函数，加着
#include<iostream>
using namespace std;
long long n,a[11],b[11],i,ans,c;
//用long long定义
long long zxgbs(long long a,long long b)
{
	return a*b// __gcd(a,b);
}
//求最小公倍数
int main(){
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i]>>b[i];
    //输入部分，不说了
	c=a[1];ans=b[1];
    //第一次建立不用循环，直接写进去
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		for(;ans%a[i]!=b[i];) ans+=c;
        //ans暴力往上加，加到符合这次的标准
		c=zxgbs(c,a[i]);
        //用函数把a[i]加进去，后面每次加的都要是这次的倍数
	}
	cout<<ans;
    //输出结果
	return 0;
}

　　2.EX—gcd

#include<cstdio>
#define ll long long
ll n,a[16],m[16],Mi[16],mul=1,X;
inline int rd(){
    int io=0;char in=getchar();
    while(in<'0'||in>'9')in=getchar();
    while(in>='0'&&in<='9')io=(io<<3)+(io<<1)+(in^'0'),in=getchar();
    return io;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){x=1;y=0;return ;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;x=y,y=z-y*(a/b);
}
int main(){
    n=rd();
    for(int t=1;t<=n;++t){
        int M=rd();m[t]=M;
        mul*=M;
        a[t]=rd();
    }
    for(int t=1;t<=n;++t){
        Mi[t]=mul/m[t];
        ll x=0,y=0;
        exgcd(Mi[t],m[t],x,y);
        X+=a[t]*Mi[t]*(x<0?x+m[t]:x);
    }
    printf("%lld",X%mul);
    return 0;
}

　　这就是CRT

但是我们知道GCD后有EX—gcd 所以CRT后也有EX—CRT

EX—CRT是这么说的（两数不互质）

PS 这里的Ai是不互质的，所以EXcrt根本不可能用CRT去解

代码如下

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
using namespace std;
bool flag = false;
ll a1,a2,n1,n2;
ll n;
ll as[100001];
ll ns[100001];
void exgcd(ll a,ll b,ll g,ll &x,ll &y) {
	if (b == 0) {
		g = a;
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,g,y,x);
	y-=(a/b)*x;
}
void china() {
	ll d = a2 - a1;
	ll g,x,y;
	exgcd(n1,n2,g,x,y);
	if (d % g == 0) {
		x = ((x*d/g)%(n2/g)+(n2/g))%(n2/g);
		a1 = x*n1 + a1;
		n1 = (n1*n2)/g;
	} else
		flag = true;
}
ll multi(ll a,ll b,ll m)
{
	ll ret=0;
	
	while(b!=0)
	{
		if(b&1)
		{
			ret=(ret+a)%m;
		}
		a=(a*2)%m;
		b/=1;
	}
	
	return ret;
}
ll excrt() {
	a1 = as[0];
	n1 = ns[0];
	for (ll i = 1; i<n; i++) {
		a2 = as[i];
		n2 = ns[i];
		china();
		if (flag)
			return -1;
	}
	return a1;
}
int main() {
	cin>>n;
	flag = false;
	for (ll i = 0; i<n; i++)
		cin>>ns[i]>>as[i];
	cout<<1ll*excrt()<<endl;
}

　　今天终于考完颓荐生考试了，考的怎么样还要等到明天才出成绩，所以，本蒟蒻可能就要暂时离开OI的练习了，今天用了一点课余时间统计了一下我的刷题数

从1月9日开始学OI开始到2020/06/27 我已经刷了597道题了

如果成绩不是很理想的话，可能就要暂别机房了...

近六个月的学习，很快乐很苦也很充实，今天来打个卡，庆祝一下我洛谷刷题破300（虽然水了好多红题qwq）

但愿明天成绩不错....

标签：CRT,ll,除以,long,EXCRT,n1,n2
来源： https://www.cnblogs.com/--840-114/p/13199770.html