模拟赛-12 connect

题意

工厂里有 \(N\) 个机器，每个机器与其他若干个机器之间需要连线，现在要将这 \(N\) 个机器安放在 \(1\)~\(N\) 这 \(N\) 个位置上，两个处在 \(D_i\) 和 \(D_j\) 位置的机器连线费用为 \(|D_i-D_j|\)，求最小的连线费用。
\(1\le N\le 20\)

输入

第一行两个整数 \(N,M\) 表示机器的数量和需要连线的关系数
接下来 \(M\) 行，每行 \(2\) 个数字 \(x,y\) 表示机器 \(x\) 和机器 \(y\) 之间需要连线

输出

一行一个整数表示最小花费

Solution

解法1：玄学

没想出来怎么状压只好退了个火
没想到竟然碾标算/jk

最开始就初始化一个位置数组 \(p\)，\(p[i]\) 表示第 \(i\) 台机器的位置
然后每次随机交换两个位置， \(N^2\) 统计新的花费，以 \(exp(-diff/T)\) 的概率接受坏解(以后可能变优)

然后大概 \(30\) 次退火就A了/fad
用时500+ms，std用时1600+ms

解法2：正解状压

首先对于状压的一个状态 \(i\) 要理解到底是啥意思

设二进制表示下的 \(i\) 有 \(x\) 个 \(1\)，那么这个状态表示这 \(x\) 个 \(1\) 的位置的机器安放在了 \(1\)~\(x\) 位置
所以我们枚举一台未安放的机器把他放在第 \(x+1\) 位

假设当前状态为 \(i\) 我们枚举机器 \(j\) 放在第 \(x+1\) 位（\((i\&(1<<j))==0\)）
但是这个代价就不能 \(O(N)\) 再去算一次了，不然就成了 \(O(N^2 2^N)\) 当场写假掉

我们可以计算对于每一个状态 \(i\) 有多少对冲突的关系（边的端点分别在已选中集合和未选中集合的边数），在安排机器的时候累加即可

正确性：假如第 \(i\) 次加入选中集合的机器需要和第 \(j\) 次加入选中集合的机器连边，为了方便描述我们设 \(i<j\)
那么在 \(i\) 加入选中集合之前边 \((i,j)\) 是不会累加的（因为这条边两端都在未选中集合），在 \(i\) 加入集合之后开始累加，累加到 \(j\) 加入集合为止，\(j\) 加入集合之后这条边的两端又在同一个集合中，不再累加，总共累加 \(j-i\) 次，刚好就是这个关系的花费

这个关系怎么求嘛....
首先我们先计算一个东西，状态 \(i\) 的二进制表示下 \(1\) 的个数，设为 \(sz[i]\) 递推即可： \(sz[i]=sz[i>>1]+(i\&1)\)

然后对于每一台机器 \(u\)，在输入的时候就处理出一个数组 \(a[u]\) 表示需要和点 \(u\) 连接的若干台机器的二进制表示

设状态 \(i\) 的冲突关系数为 \(s[i]\) 那么有 \(sum[i]=\sum\limits_{j=0}^{N}sz[i\&a[j]]\) \(((1<<j)\& i==0)\)
(找出一个没选的数字，然后把既和他要连边也已经选取的数字累加进去）

状态转移方程： \(F[i|(1<<j)]=F[i]+s[i]\)
鸽完了/cy

标签：sz,12,机器,连线,累加,选中,connect,集合,模拟
来源： https://www.cnblogs.com/ShadderLeave/p/13194089.html