按部就班的吴恩达机器学习网课用于讨论（10）
作者：互联网
类偏斜的误差度量
比如在一个肿瘤预测的问题上，当大量的样本为负样本（实际上没有肿瘤99.5%），只有少数的样本为正样本（实际存在肿瘤0.5%）。那么评判一个机器学习模型的指标，就需要调整。
在一个极端的情况，当一个模型为y=0，也就是将所有预测全为负样本，就有了99.5%的正确率，而这种模型忽略了输入，相比于一个良好的模型，本来应该能够预测出一些肿瘤的情况。所以，前者极端的模型，是没有意义的。因此，引入查准率（precision）和查全率（recall）。
查准率指的是：在所有预测为正样本的结果中，实际上为正样本的比率。TP/(TP+FP)
查全率指的是：在所有实际为正样本的结果中，预测值为正样本的比率。TP/(TP+FN)
这样的度量方法，在类偏斜方面的，机器学习模型，效果会好一点。不论是查准率或者查全率，当然是越高越好。一般将正样本作为少数类，便于概念统一。以这样的方法度量，极端模型上的查准率和查全率，都为0了。
查准率和查全率之前的权衡
查准率越高，则当预测为正样本后，该预测的实际为正样本，可靠性越高。模型注重一旦预测为正样本，实际就应是正样本。
查全率越高，则该模型对于实际上应该为正样本的条目，预测结果也为正样本，可靠性越高。模型注重，一旦做出判断，该判断的结果集，就应该包含了，尽可能多的实际应该为正样本的条目。
在查准率和查全率做权衡时，使用均值的方案是不可靠的，尤其是算法1和算法3，当使用均值度量，则比较不出结果。使用F1 score的方法，应该是更好的。
分数越高越好，这样可以看，当查准，查全都是1，F1 score也为1，就是最好的结果。
机器学习中的数据
机器学习系统中的算法，有不少都是随着数据量的增大而变优的。这样的原理是，训练集越多，也不容易过拟合（高方差），因为训练误差会更接近测试误差。对于欠拟合问题（高偏差），也对应使用更多的参数和数据解决了。
或者说，更多的训练模型参数，更多的数据特征，学到更多，而输出结果和这些数据中的更多特征有关系吧。
优化目标
为了说明支持向量机SVM的模型构成，说明一下从逻辑回归，到SVM的演变。
逻辑回归的假设函数h如下，其中，回归模型中的theta与x的乘积得出后，做了非线性变换，得到h的结果。
图中可以看到，表示z的值，与函数h的输出关系，用于预测结果为1（正样本）或者为0（负样本）。
逻辑回归的代价函数cost如下，其中省略了求和与1/m的部分，还有theta正则化等。通过代价函数的最小化，来训练模型中的theta值。
其中的对数部分，是一条曲线，用于降低或者消除局部最优的效果（应该是之前提到过的）。在支持向量机中，使用折线cost函数取代了对数部分。
下面是逻辑回归代价函数和支持向量机的目标函数对比。首先是cost1和cost0的部分，做了替换。
然后是将1/m的部分去掉了。去掉的原因是：在支持向量机中，为了求得式子的最小值，而式子乘除一个常数，最终求得的结果的目标值theta值，应该是不变的。（但是整个式子的值是变了，就是cost本身的大小是变了）
另外修改了lambda的位置到了前项C中。C的控制效果和逻辑回归是一致的，C越小，则类似lambda越大，正则化效果越明显。C置于前项的目的是，思维方式上，更注重前项带来的影响。
好了，支持向量机的目标函数（也可以说是代价函数吧），在上面的给出了。但是和逻辑回归中使用sigmoid函数得出假设函数（预测函数）h不一样，支持向量机的h函数，是从目标函数中得出的。
最小化目标函数后，若thetaX>=0，则输出h为1，否则输出h为0。
大边界的直观理解
支持向量机的大边界，指的是划分类以后，中间空出的距离。
在实际划分类的时候，使用h函数，当thetaX大于等于0，即可判定该数据为正样本1。但是对应的目标函数（误差函数）来说，仍然存在误差，若果thetaX>=1，则误差才为0。
同理y=0的情况。也就是说，支持向量机在-1和1之间的thetaX上，保留了一定的安全距离。
当C的值越大的时候，支持向量机的目标函数更侧重于第一项的安全距离，所以在下图中，更侧重于黑线的决策边界。其中蓝色为间距。
但是极端的C过大，往往会导致一些数据干扰也学习，效果变差。更好的方法是降低C值，这样将边界从蓝线变到黑线处。
当C不是非常非常大的时候，它可以忽略掉一些异常点的影响，得到更好的决策界。（C 较大时，相当于逻辑回归中的lambda 较小，theta影响增强，可能会导致过拟合，高方差。当theta影响减低，就会忽略一些干扰项）
大边界分类背后的数学
向量内积
uT * v = u1*v1+u2*v2 = (u1^2+u2^2)*exp(1/2) * p。其中，p为v向量在u向量上的投影，可以为负。 (u1^2+u2^2)*exp(1/2) 为u向量的长度，记做||u||，为u的范数。
在支持向量机的目标函数中，当C过大，而要求式子为最小化时候，认为前项值则为0，则可以将目标函数简化为如下形式，这时候只要求theta最小。
而theta可以写作范数形式：1/2(||theta||^2)。那么这时候对于目标函数的要求是，让theta代表的范数（或者成为theta的长度）最小。
其实，在之前的讨论中，当thetaT * X >=1，输出的h函数值为1，且目标函数为最小（为0）。thetaT * X <= -1 ，输出h函数值为0，目标函数最小（为0）。
通过向量内积公式得到： thetaT * X = p * ||theta||，因此有如下的关系。
在如下两种分类边界上，蓝线为边界，黑色箭头为theta的方向（这里假设theta过原点的）。
在第一中情况下，thetaT * x的值，表示为p * ||theta||，要得到正样本的h为1的输出，则要求p * ||theta||>=1，theta在目标函数中，要求了最小化，则p需要增大，才能获得输出1。p为样本在theta向量的投影。
而第二种情况下，p样本在theta向量上的投影更长，在theta不够大的情况下，更能够使得p * ||theta||>=1，获得正样本输出。支持向量机的原理，就是寻找使得p更大的theta方向，同时theta的值（范数）足够小。
核函数1
考虑如下的二分类问题，需要一个更好的模型，才能够更正确的分类。而x的特征之间组合形式多种多样。一个个模型尝试（之前也许有提到）虽然是一种方法，但是低效，耗费计算能力。
所以，使用了，高斯核函数，选定地标，然后对于输入样本，计算和地标之间的相似性，判定分类结果。
高斯核函数如下f1，其内部||x-l||，为样本x与地标l的距离。距离越近，则f1输出越接近1，越远则接近0，其中cegma控制了核函数的宽窄。
在如下三个地标上，令theta0=-0.5，theta1=1，theta2=1，theta3=0。则有如下效果：
当样本x，接近l1，l2，获得0.5，则认为是正样本输出，对应的输出预测为1。而接近l3，获得-0.5，对应预测输出0，谁也不接近，则预测输出0。
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