线代打卡11

2020-04-26 10:39:45 作者：互联网

设 $t_1,t_2,\dots,t_r$ t1,t2,…,tr是互不相同的数,设 $\alpha_i=(1,t_i,{t_i}^2,\dots,{t_i}^{n-1})(i=1,2,\dots,r)$ αi=(1,ti,ti2,…,tin−1)(i=1,2,…,r)
讨论向量组
$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r$ α1,α2,…,αr
的线性相关性.

解：(1)当 $r>n$ r>n时, $r$ r个 $n$ n维向量必线性相关;
(2)当 $r\leq n$ r≤n时,将 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r$ α1,α2,…,αr按行排列成矩阵
$A=\left(\begin{matrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_r\\ \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1&t_1&{t_1}^2&\dots&{t_1}^{n-1}\\ 1&t_2&{t_2}^2&\dots&{t_2}^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 1&t_r&{t_r}^2&\dots&{t_r}^{n-1}\\ \end{matrix}\right)$ A=⎝⎜⎜⎜⎛α1α2⋮αr⎠⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎛11⋮1t1t2⋮trt12t22⋮tr2………t1n−1t2n−1⋮trn−1⎠⎟⎟⎟⎞
$A$ A中 $r$ r阶子式(范德蒙行列式的转置)
$D_r=\left(\begin{matrix} 1&t_1&{t_1}^2&\dots&{t_1}^{r-1}\\ 1&t_2&{t_2}^2&\dots&{t_2}^{r-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 1&t_r&{t_r}^2&\dots&{t_r}^{r-1}\\ \end{matrix}\right)=\prod_{r\ge i\ge j\ge 1}(t_i-t_j)\not = 0$ Dr=⎝⎜⎜⎜⎛11⋮1t1t2⋮trt12t22⋮tr2………t1r−1t2r−1⋮trr−1⎠⎟⎟⎟⎞=r≥i≥j≥1∏(ti−tj)=0
因 $r(A)=r,$ r(A)=r,故
$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r线性无关.$ α1,α2,…,αr线性无关.

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来源： https://blog.csdn.net/qq_45645641/article/details/105748060