P2341 [USACO03FALL][HAOI2006]受欢迎的牛 G 题解
作者：互联网
简要题意：
给定一张图，求多少个点，每个点都能到达它。
本题作为强连通分量的入门题。
何为强连通分量？有什么用？
下面一一解释。
首先，我们要确认，这道题目如果不用强连通分量而用其它方法（比如说暴力）的话：
时间复杂度将达到 O(n2)，此时不易通过，也非正解。
强连通分量是什么？我们来看一张图吧。
我们希望，如果能把环通过某种方式去掉，然后变成有向无环图，就很容易了。
一个强连通分量中的点两两可达。（有向图中）一个点也可以被认为是一个强连通分量。
也就是说，你会发现，一个环 或者 若干个相交的环 都会变成一个强连通分量。
显然它们两两可达，最后图会变成若干个强连通分量。
你会发现，1 是一个强连通分量，2,3,4,5 是一个强连通分量，6,7,8 均为一个单独的强连通分量。
此时我们可以简化这个图变成：
qx 表示 x 号强连通分量。
此时你发现 q4 就是答案，里面装的是 7，所以答案为 1.
那么问题在于，如何求强连通分量？
回到这个图。
用 dfni 表示 i 的遍历编号（就是我们常说的 “时间戳”），fi 为 i 号节点属于的强连通分量编号，lowi 为 i 号节点能走到的 dfn 值最小的节点。
一开始 lowi=i(1≤i≤n).
首先，我们从 1 节点开始遍历，走到 2.
然后走到了 3,4,5 ，没有问题。此时 dfni=i(1≤i≤5)
然后，5 走到 2 ，说明什么？
说明出现了环，说明出现了一个强连通分量（不一定完整，也就是不一定是一个完整的强连通分量）！
此时，dfni=2(3≤i≤5)，这是需要更新的。那么此时第一个强连通分量产生了：
lowi=1(2≤i≤5).
然后你回溯，发现 5 没有其它节点可走。因为它属于一个未确定的强连通分量，因此保留。
同样，回溯到 4，继续到 3，走到了 6.
继续走到 7. 此时 7 没有其它节点可走，并且 low7=7，说明 它只能走到自己，也不存在别人能走到它——因为它没有节点可走。所以它是一个单独的强连通分量，我们把它标记，即丢弃。
然后，回溯到 6.发现 6 也没有其它节点可走（7 已经被标记丢弃了），所以同理，6 也是一个强连通分量，标记丢弃掉。
接着回溯到 3，回溯到 2.
然后 2 走到了 8，发现 8 也没有其它节点可走（7 已经被标记丢弃了），所以同理，8 也是一个强连通分量，标记丢弃掉。
然后回溯到 2，发现 2 没有可以走的节点了。所以，和 2 出于同一个强连通分量的节点全部被标记丢弃掉。
此时回溯到 1，1 也作为了一个单独的强连通分量。
此时强连通分量就求出来了。
那么你会说，这些过程有一个难维护的细节：就是 “同一个强连通分量的节点全部被标记丢弃掉”，难道还要扫一遍吗？
不用。我们可以用栈维护。每走过一个节点进栈，标记丢弃则出栈。
inline void dfs(int u) {
dfn[u]=low[u]=++times;
s.push(u); h[u]=1;
for(int i=0,t;i<G[u].size();i++) {
t=G[u][i];
if(!dfn[t]) {
dfs(t); low[u]=min(low[u],low[t]); // 如果 t 能往上，那么 u 也能
} else if(h[t]) low[u]=min(low[u],dfn[t]); // 否则直接统计
}
if(low[u]==dfn[u]) { //表示当前节点无法向上，则统计答案
cnt++; int k;
do {
// a[cnt].push_back(s.top());
k=s.top();
h[k]=0; f[k]=cnt;
gs[cnt]++; s.pop();
} while(k!=u) ;
}
}
此时，重构的图（代码中未重构）
那么，如何维护最终的答案？
你会发现，如果按照强连通分量重新构图，则一定是 有向无环图 。（不一定是树，因为有可能是菱形状）
下面证明两个结论：
- 如果有 ≥2 个点出度为 0，则整张图不存在答案。
证明：
如果有 ≥2 个点出度为 0，则首先除了这 2 个点外的其它所有点都不会是答案。因为这 2 个点就无法到达它们。
然后，这两个点也不是答案。因为，它们互相无法到达，也就促使了互相都不是答案。得证。
- 如果只有 1 个点出度为 0，则这个答案就是它。
证明：
首先 y 不连向其它任何点，所以，整张图的答案要么是它，要么不是它。
如果这个结论不成立的话，结合上面的结论，你会发现答案始终为 0.
但是样例告诉我们，不是这样的。所以得证。
这个证明可能有点不太严谨，但是考场上这样证就足够了
但是我们不需要重构这个图。
因为，我们这需要在原图上查边 u→v，如果 fu=fv，说明不属于同一个强连通分量，就 dufu←dufu+1，dui 表示第 i 个强连通分量 缩点后 的出度。
另：把每个强连通分量看做一个点，这样的方法叫做缩点。
最后统计出度即可。
时间复杂度：O(n+m).
实际得分：100pts.
#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<stack> //由于 POJ 不支持万能头，因此要手写
using namespace std;
const int N=1e5+1;
inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
bool h[N]; int cnt=0;
int times,dfn[N],du[N];
int low[N],n,m,f[N],gs[N];
vector<int>G[N];
stack<int>s;
inline void dfs(int u) {
dfn[u]=low[u]=++times;
s.push(u); h[u]=1;
for(int i=0,t;i<G[u].size();i++) {
t=G[u][i];
if(!dfn[t]) {
dfs(t); low[u]=min(low[u],low[t]);
} else if(h[t]) low[u]=min(low[u],dfn[t]);
}
if(low[u]==dfn[u]) {
cnt++; int k;
do {
// a[cnt].push_back(s.top());
k=s.top();
h[k]=0; f[k]=cnt;
gs[cnt]++; s.pop();
} while(k!=u) ;
}
} //Tarjan 模板
int main(){
n=read(),m=read();
while(m--) {
int x=read(),y=read();
G[x].push_back(y);
} for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i]) dfs(i);
for(int u=1;u<=n;u++)
for(int i=0;i<G[u].size();i++) {
int x=G[u][i];
if(f[u]-f[x]) du[f[u]]++;
}
// for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",f[i]); putchar('\n');
// for(int i=1;i<=cnt;i++) printf("%d ",gs[i]); putchar('\n');
// for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",du[i]); putchar('\n');
int ans=0;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
if(!du[i]) {
if(ans) {puts("0");return 0;} //已经有入度为 0 的，再来一个，答案为 0，结束
ans=i; //记录入度为 0 强连通分量的编号
} printf("%d\n",gs[ans]); //强连通分量的大小即为答案
return 0;
}
标签：连通,leq,int,题解,222,HAOI2006,USACO03FALL,节点,分量 来源： https://blog.csdn.net/bifanwen/article/details/105261734