初等解析函数和多值函数的解析分支

定义2.4.1  (多值函数的连续分支) \(\Omega\)区域, \(\mathbb{F}(z)\)为\(\Omega\)上的多值函数, 若\(f(z)\)在\(\Omega\)上连续, 且对于任意的\(z\in\Omega\), \(f(z)\in\mathbb{F}(z)\), 则称\(f(z)\)为\(\mathbb{F}(z)\)在区域\(\Omega\)上的连续分支.

定义2.4.2  (多值函数的解析分支) \(\Omega\)区域, \(\mathbb{F}(z)\)为\(\Omega\)上的多值函数, 若\(f(z)\)在\(\Omega\)上解析, 且对于任意的\(z\in\Omega\), \(f(z)\in\mathbb{F}(z)\), 则称\(f(z)\)为\(\mathbb{F}(z)\)在区域\(\Omega\)上的解析分支.

例2.4.3 指数函数的性质

(1) \(\forall z=x+i y\in\mathbb{C}, e^z=e^x(\cos y+i\sin y).\)

(2) \(z=x\in\mathbb{R}\), \(e^z\)与通常实指数函数的定义一致.

(3) \(|e^z|=e^x>0.\)

(4) \(e^z\)在\(z\)平面上解析, 且\((e^z)'=e^z.\)

(5) \(e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}.\)

(6) \(e^z\)以\(2i\pi\)为基本周期.

定义2.4.4 规定对数函数是指数函数的反函数, 即若\(z\neq 0,\infty,\)满足\(z=e^w\)的复数\(w\)称为\(z\)的对数值, \(z\)的一切对数值的集合称为\(z\)的对数, 记作\(Ln z\).

具体地, \(Ln z=\{\ln|z|+i\arg z+i2k\pi, k\in\mathbb{Z}\}.\)
若把\(\ln|z|+i\arg z\)称为主值, 记作\(\ln z\), 则\(Ln z=\{\ln z+i2k\pi, k\in\mathbb{Z}\}.\)

注:若把\(z\)看作非零复数, \(Ln z\)的定义域为\(\mathbb{C}-\{0\}.\)

\[Ln(z_{1}z_{2})=Ln z_1+Ln z_2, Ln(\frac{z_1}{z_2})=Ln z_1-Ln z_2.\]

定理2.4.5  (解析函数的对数解析分支) \(\Omega\)单连通区域, \(f(z)\)在\(\Omega\)中解析且处处非零, 则\(Ln f(z)\)在\(\Omega\)上有解析分支\(g(z)\), 满足\(e^{g(z)}=f(z),\) 且\(Ln f(z)\)在\(\Omega\)上的所有解析分支一定是\(g(z)+2ik\pi, k\in\mathbb{Z},\) 即 \(Ln f(z)=\{g(z)+i2k\pi, k\in\mathbb{Z}\}.\) 从而\(Ln f(z)\)在\(\Omega\)上有无穷多个解析分支, 且任意两个解析分支相差\(2\pi\)的整数倍.

注：(1)定理2.4.5 表明, 若\(Ln f(z)\)在单连通区域\(\Omega\)上的任意两个解析分支在\(z_0\in\Omega\)上的值相等, 则这两个解析分支恒相等.

(2) 为方便, \(Ln f(z)\)在\(\Omega\)上的解析分支\(g(z)\)有时简记为\(\ln f(z)\), 若强调是特定的一支, 要给定\(z_0\in\Omega\), 确定出\(\ln f(z)\)在\(z_0\)的值.

例2.4.6 (对数函数的解析分支)  \(\Omega\)单连通区域, \(z_0\not\in\Omega,\) 则\(Ln(z-z_0)\)在\(\Omega\)上有解析分支\(\ln_{\Omega}(z-z_0)\), 满足\(e^{\ln_{\Omega}(z-z_0)}=z-z_0\), 且\(Ln(z-z_0)\)在\(\Omega\)上所有的解析分支一定是\(\ln_{\Omega}(z-z_0)+2k\pi i, k\in\mathbb{Z}.\)

证明：令\(f(z)=z-z_0\), 则\(f(z)\)在\(\Omega\)上解析, 处处不为零, 由定理2.4.5, 成立.

例2.4.7 (多值辐角函数的连续分支) \(\Omega\)单连通区域, \(z_0\not\in\Omega\), 则\(Arg(z-z_0)\)在\(\Omega\)内有连续分支\(\arg_{\Omega}(z-z_0)\), 在\(\Omega\)上, 对\(x,y\)有各阶偏导数, 且\(Arg(z-z_0)=\{\arg_{\Omega}(z-z_0)+2k\pi, k\in\mathbb{z}\}.\) 从而\(Arg(z-z_0)\)在\(\Omega\)中有无穷多连续分支, 任意两个相差\(2\pi\)的整数倍.

注：\(\arg(z-z_0)\)不解析.

注：设\(\Gamma: z=\gamma(t), \ t\in[a,b]\)是一条分段光滑的有向曲线(简称路径), 若\(0\not\in\Gamma\), 即\(\gamma(t)\)在\([a,b]\)上不取零值, 则存在\(\rho(t)=|\gamma(t)|,\theta(t), t\in[a,b],\) 分段光滑实函数, 使得\(\gamma(t)=\rho(t)e^{i\theta(t)}\).

定理2.4.8 (解析函数的n方根的解析分支) 设\(n\geq2\), \(\Omega\)单连通区域, \(f(z)\)在\(\Omega\)内解析, 处处不为零, 则\((f(z))^{1/n}\)在区域\(D\)内有解析分支\(g(z)\), 且\((f(z))^{1/n}\)的所有解析分支是\(g(z)e^{2k\pi i/n},k=0,1,...,n-1\)的形式.

定理2.4.9 (连续函数为n方根的解析分支的判定定理) \(n\geq2\)是整数, \(\Omega\)区域, \(f(z)\)在\(\Omega\)中解析且处处不为零, \(g(z)\)为\((f(z))^{1/n}\)的连续分支, \(z\in \Omega\), 则\(g(z)\)为\((f(z))^{1/n}\)在\(\Omega\)上的解析分支.

例2.4.10 证明多值函数\((z^2(1-z)^3)^{1/5}\)在\(z\)-平面上割去线段[0,1]的区域\(D\)上可以分出5个解析分支. 求出在(0,1)的上沿取正值的那个单值解析分支\(g_0(z)\)在点\(z=-1\)处的值\(g_0(-1)\)以及\(g_0'(-1),g_0''(-1)\).

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