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两独立随机变量，变上线积分加联合分布函数，中断概率中有两个随机变量

2020-03-06 12:07:51 作者：互联网

1、随机变量 $h$ 服从复高斯分布，即 $h\sim CN(0,\lambda_{1})$ ，则 $X=\vert h\vert^{2}$ 服从指数分布，即 $X\sim E(\lambda_{1})$ 。

$X$ 的密度函数可以记作

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x}, x\geq 0 \\ 0,\ \ \ \ \ \ \ \ x<0 \end{matrix}\right.$ ，

$X$ 的分布函数可以记作

$\left\{\begin{matrix} P(X\geq x)=e^{-\lambda_{1}x}\\ P(X\leq x)=1-e^{-\lambda_{1}x} \end{matrix}\right.$ 。

2、在通信求中断概率的过程中，可能会遇到 $Pr(X\ge aY+b)$ 的形式，其中 $X\sim E(\lambda_{1}), Y\sim E(\lambda_{2})$ 为两个服从指数分布的随机变量， $a, b$ 为常数，则计算方法如下：

$\begin{aligned} Pr(X\ge aY+b) &=E_{Y}[F_{X}(ay+b)]\\ &= \int_{0}^{\infty}f_{y}(t_{1})Pr(X\ge at_{1}+b)dt_{1}\\ &=\int_{0}^{\infty}f_{y}(t_{1})\int_{at_{1}+b}^{\infty}f_{x}(t_{2})dt_{2}dt_{1}\\ &=\int_{0}^{\infty}f_{y}(t_{1})e^{-\lambda_{1}(at_{1}+b)}dt_{1}\\ &=\int_{0}^{\infty}\lambda_{2}e^{-\lambda_{2}t_{1}}e^{-\lambda_{1}(at_{1}+b)}dt_{1}\\ &=\lambda_{2}e^{-\lambda_{1}b}\int_{0}^{\infty}e^{(-\lambda_{2}-a\lambda_{1})t_{1}}dt_{1}\\ &=\lambda_{2}e^{-\lambda_{1}b}/(\lambda_{2}+a\lambda_1) \\ \end{aligned}$

标签：上线,函数,中断,积分,服从,指数分布,随机变量,高斯分布
来源： https://blog.csdn.net/qq_40016690/article/details/104692934