【题解】赛艇 [THUPC2018] [P5447]

传送门：赛艇 \(\text{[THUPC2018] [P5447]}\)

【题目描述】

给出一个只包含 \(01\) 的大矩阵和一长串运动轨迹，求轨迹在大矩阵中的匹配次数。

【分析】

一道 \(\text{FFT}\) 做字符串匹配的水题（没想到 \(\text{THU}\) 也会有我这个蒟蒻能做的题目 QAQ）。

还不会这种套路的强烈建议去康康这个，保准一遍看懂。

考虑先将运动轨迹对应的放到大矩阵的左上角（走过的位置设为 \(1\)，其他为 \(0\)），比如样例：

然后把大矩阵和运动轨迹分别折叠成长为一维数组 \(f,g\)，按照套路卷起来即可，具体实现如下：

设 \(PA(st)=\sum_{i=1}^{n \times m}f(st+i-1)g(i)\)，翻转 \(g\) 得到：\(PA(st)=\sum_{i=1}^{n \times m}f(st+i-1)g(n \times m-i+1)\) \(=\sum_{i+j=st+n \times m}f(i)g(j)\)，当 \(PA(st)=0\) 时可知 \(st\) 为一个合法匹配的起点。

为什么直接卷就是对的呢？感觉不太好理解，实际上画个图瞬间就懂了，如下（黑色为原矩阵，蓝色为运动轨迹矩阵，矩阵中的数字为对应在一维数组中的编号）：

在上图中，匹配起点 \(st\) 为 \((2,2)\)，对应一维编号为 \(6\)，如果根据上面的 \(PA\) 定义式来看，运动轨迹矩阵中的 \(\{1,2,3,4,5,6,7\}\) 分别与大矩阵中的 \(\{6,7,8,9,10,11,12\}\) 进行了匹配，其中只有蓝色越界数字 \(4\) 对应了黑色越界数字 \(9\)，而其他的都与上图完全吻合。

由于我们判断矩阵是否匹配只用关注未越界位置，因此可以证明上述做法是正确的。

时间复杂度为：\(O(nm\log (nm))\) 。

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define Re register int
using namespace std;
const int N=8388608+3,P=998244353,G=3,inf=2e9;char ch[5000003];
int n,m,T,ans,invG,minx=1,miny=1,maxx,maxy,f[N],g[N],tr[N];
inline void in(Re &x){
    int f=0;x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    x=f?-x:x;
}
inline int mi(Re x,Re k){
    Re s=1;
    while(k){
        if(k&1)s=(LL)s*x%P;
        x=(LL)x*x%P,k>>=1;
    }
    return s;
}
inline int inv(Re x){return mi(x,P-2);}
inline void NTT(Re *f,Re n,Re op){
    for(Re i=0;i<n;++i)if(i<tr[i])swap(f[i],f[tr[i]]);
    for(Re p=2;p<=n;p<<=1){
        Re len=p>>1,w1=mi(op?invG:G,(P-1)/p);
        for(Re st=0;st<n;st+=p)
            for(Re j=st,base=1;j<=st+len-1;++j){
                Re tmp=(LL)base*f[j+len]%P;
                f[j+len]=(f[j]-tmp+P)%P,(f[j]+=tmp)%=P;
                base=(LL)base*w1%P;
            }
    }
}
inline void sakura(Re *f,Re n,Re *g,Re m){//卷卷卷
    for(m+=n,n=1;n<=m;n<<=1);Re invn=inv(n);
    for(Re i=1;i<n;++i)tr[i]=(tr[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);
    NTT(f,n,0),NTT(g,n,0);
    for(Re i=0;i<n;++i)f[i]=(LL)f[i]*g[i]%P;
    NTT(f,n,1);
    for(Re i=0;i<=m;++i)f[i]=(LL)f[i]*invn%P;
}
inline int Poi(Re i,Re j){return (i-1)*m+j;}
inline void move(Re &x,Re &y,char op){x+=(op=='s')-(op=='w'),y+=(op=='d')-(op=='a');}
int main(){
//    freopen("123.txt","r",stdin);
    in(n),in(m),in(T),invG=inv(G);
    for(Re i=1;i<=n;++i){
        scanf("%s",ch+1);
        for(Re j=1;j<=m;++j)f[Poi(i,j)]=(ch[j]=='1');
    }
    scanf("%s",ch+1);
    for(Re i=1,x=1,y=1;i<=T;++i)
        move(x,y,ch[i]),minx=min(minx,x),miny=min(miny,y);//获取最小坐标minx,miny得到相对差值cx,cy
    Re cx=1-minx,cy=1-miny;g[n*m-Poi(maxx=1+cx,maxy=1+cy)+1]=1;//注意起点别忘了
    for(Re i=1,x=1+cx,y=1+cy;i<=T;++i)
        move(x,y,ch[i]),maxx=max(maxx,x),maxy=max(maxy,y),g[n*m-Poi(x,y)+1]=1;//获取最大坐标maxx,maxy方便判断越界
    sakura(f,n*m,g,n*m);
    for(Re i=1;i<=n-maxx+1;++i)
        for(Re j=1;j<=m-maxy+1;++j)
            ans+=(f[Poi(i,j)+n*m]==0);
    printf("%d\n",ans);
}

标签：轨迹,int,题解,矩阵,THUPC2018,st,Re,PA,P5447
来源： https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/12380495.html