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洛谷网校:树形问题(持续更新)

作者:互联网

2020.2.2

树形问题(未完待续)

1.基础知识

1.基本性质

有n 个点,n − 1 条边的连通无向的无环图是无根树

规定无根树某节点为根节点,就变成有根树

树上两点间有且仅有一条路径,该路径的长度称为两点的距离

除根节点外,每个节点有且只有一个父亲

除了叶节点,每个节点有至少一个儿子

2.规定

fa~i~:点 i 的父亲

d~i~:点 i 的深度(除非说明,根节点深度为 0)

size~i~:点 i 子树的大小

dist~i,j~:点 i 和点 j 的距离

3.树的直径

定义:一棵带权树中最远的两个节点之间的路径(距离)。

推论:直径的端点一定是叶子

反证:如果一个端点不是叶子,那么它的儿子到另一个端点距离一定比原直径长,与定义不符。所以直径端点一定是叶子

推论:对树中的一个点x,离x最远的点一定是直径的一个端点。

证明:以x为根DFS或BFS,求出每个点到x的距离,并得到离x最远的点u。再求出每个点到u的距离,并得到离u最远的点v,那么这里的(u,v)就是最长的路径(因为v离u最远,所以如果还有更长的,端点一定不是u或v,但是u离x最远,所以更长的路径不存在,(u,v)最长)路径 (u, v) 即为树的直径

2.倍增求LCA

1.祖先:x到根的路径上除x之外的所有点

2.LCA(最近公共祖先)

两个节点的辈分最小(深度最大)的祖先。

LCA的应用:快速查询两点距离:

两点距离就是两点深度和减去两倍的LCA的深度

要想求出LCA,暴力的算法就是先将深度较大的往上走,直到两节点深度相同,接着同时往上走,直到两点重合,就找到了LCA(当前重合位置的节点)

时间复杂度:O(n)

3.倍增

可以用二进制优化,先预处理出每个节点的2^i^代祖先,然后把之前将节点一步一步往上走的操作,优化成一次2^i^步的操作,时间复杂度优化为O(log~2~n)(易证,i要从大到小,就像乌鸦喝水先放大石子一样)

代码:

int LCA (int x, int y) {//求x,y的LCA
if (d[x] < d[y])
    swap(x, y);//保证x深度大
int k = d[x] - d[y];//深度差
for (int j = 16; j >= 0; j--)
    if (k & (1 << j))//如果x往上跳不会跳过头
        x = f[x][j];//往上跳2^j步
    if (x == y)//恰好重合
        return x;//当前重合的位置就是LCA
    for (int j = 16; j >= 0; j--)//两点一起跳
        if (f[x][j] != f[y][j])//没有过头(直到都到了LCA儿子的位置)
            x = f[x][j], y = f[y][j];//一起跳2^j步
    x = fa[x];//此时的父亲就是LCA
    return x;
}

3.生成树

1.MST(最小生成树)

在有n个点m条边的无向带权图中,选出n-1条边形成一棵树,使生成树边权和最小

Kruskal算法:将边按边权从小到大排序,并依次考虑每条边(u,v),若(u,v)已经连通,则加入后会形成环。不能选择。试图将(u,v)加入树中。

4.最小瓶颈生成树

使生成树最大边权最小

最小生成树符合最小瓶颈生成树条件

4.DFS序和树链剖分

1.DFS序

对树DFS时记录点的序号所产生的顺序。

每个点的子树对应DFS序中的连续区间。

2.树链剖分(这里只讨论重链剖分)

把树上问题转化为DFS序列上的问题

解决单点修改,路径操作,路径查询,子树查询(查询最值或和)问题

轻边的子树大小小于等于根节点父亲的子树的大小的二分之一

轻边条数数量级:O(logn)

重链条数数量级:O(logn)

首次DFS:求出节点子树大小,重儿子

再次DFS:先访问重儿子,再访问轻儿子,记录DFS序,这样就能使每条重链对应第二次DFS序上的一段区间,记录重链链顶(整条链深度最小的节点)。

重链上父子关系的两个点的链顶相同(废话,在一个链上肯定相同)

(伪)代码:

vector<int> G[N];
int siz[N],son[N],dfn[N],cnt,top[N],pa[N];

void dfs1(int x,int fa){
    siz[x]=1,pa[x]=fa;
    for(auto y:G[x]){
        if(y!=fa)dfs1(y,x),siz[x]+=siz[y];
    }
    int mx=0;
    for(auto y:G[x])if(y!=fa){
        if(mx<siz[y])mx=siz[y],son[x]=y;
    }
}

void dfs2(int x){
    dfn[x]=++cnt;
    if(son[x]!=0){
        top[son[x]]=top[x];
        dfs2(son[x],x);
    }
    for(auto y:G[x])if(y!=pa[x]&&y!=son[x]){
        top[y]=y;
        dfs2(y,x);
    }
}

int main(){
    dfs1(1,0);
    top[1]=1;
    dfs2(1,0);
}

4.查询路径最值

把路径分成几条重链(单点也是特殊重链)

求路径上的每条重链的最值,然后在这些最值中求出最后的最值。

求重链最值可以在DFS序上用线段树或ST表。

标签:洛谷,int,路径,DFS,网校,树形,LCA,重链,节点
来源: https://www.cnblogs.com/Wild-Donkey/p/12253628.html