该模型是Appolaire等人于2008年在MSE上发表。

B. Appolaire, H. Combeau, G. Lesoult. Modeling of equiaxed growth in multicomponent alloys accounting for convection and for the globular/dendritic morphological transition, Mater. Sci. Eng. A 487 (2008) 33-45.

该模型是一个半解析半数值的模型，一方面对于枝晶的细微结构如一次枝晶尖端半径、二次枝晶间距及直径，对流效应等用到了大量解析解，有利于深刻理解枝晶的生长动力学过程;另一方面又针对整个凝固过程，非仅仅着眼于稳态过程，故能计算出凝固中各个参数的时间发展过程，对生产实际又有指导作用。

该模型特点：

• 能够模拟球晶/枝晶的形貌变化
• 考虑对流效应
• 计算快捷
• 能够处理多元合金
• 宏微观尺度结合
• 非平均场近似，能够给出组织分布(尺寸、形貌等)??

模型描述

物理图像

该模型用来模拟单个等轴晶在无限大熔体中的组织演化过程。等轴晶的尖端连成一条假想的包络线，包络线内部的固相分数表达式为：

当$g_i=1$时，晶体为球晶;当$g_i<1$时，晶体为枝晶。
这样晶粒的演化分为两部分：

1. 包络线的演化动力学;
2. 晶内区域的演化动力学。

相图

简化起见，液相线和固相线都假定为直线(二维)或平面(三维)，同时，平衡分配系数也假定为常数。当合金为稀溶液时，上述简化是合理的。对于溶质元素较多时，液固相线可以在平衡浓度附近线性化，下式中的$T_m$是一个假想温度。所以液相线温度为：

$T_m$是纯物质的熔点，$c_{i}^{l}$是液相中i组员的浓度。
此表达式假定溶质元素之间没有相互作用，同时过冷度也不是很大。

包络线

包络线的形状

对于一个立方晶格结构的合金(如钢、铝合金等)，包络线是一个规则的八面体，其中六个角对应枝晶尖端，十二条边对应二次枝晶尖端。如图：

这种形状假设二次枝晶与一次枝晶生长速度相同，要比之前的球状假设要合理得多。
晶粒的体积和表面积是枝晶臂长的简单的函数：

包络线的动力学

包络线的演化动力学由$d_tL_1$决定，其中$d_t$表示对时间的偏导。

• 生长情形大专栏

标签：枝晶,包络线,宏微观,模型,动力学,尖端,演化
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