生成函数

生成函数

计算机学院有许多喜欢火火的女生。一班有2个，二班有3个，三班有2个，四班是火火的后宫，有8个喜欢火火的女生（全班女生）

如果用一个函数“f(班级)=喜欢火火女生的个数”，那么我们可以把上述信息表示成：f(1)=2,f(2)=3,f(3)=2,f(4)=8

构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。
\[ a0,a1,a2.....an对应的生成函数是g(x)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n \]

问题1.

火火在这些女生中选择自己的后宫成员，现在他对女生们的颜值等级进行排序，颜值等级为1的妹子有3个，颜值等级为2的妹子有2个，颜值等级为3的妹子有5个，颜值等级为4的妹子有5个,假设火火的后宫等级取决于所有妹子的颜值等级之和，那么火火的后宫等级共有多少种可能的情况？每种等级各有几种可能方案？

3个1级妹子可以看成
\[ 1+3x+3x^2+x^3 \]
其中1表示不要这个等级的妹子，3表示有三种情况只要1个1等级的妹子........同理，另外三种情况为
\[ 1+2x^2+x^4、1+5x^3+10x^6+10x^9+5x^{12}+x^{15}、1+5x^4+10x^8+10x^{12}+5x^{16}+x^{20} \]
则所阐述的生成函数为
\[ g(x)=(1+3x+3x^2+x^3)*(1+2x^2+x^4)*(1+5x^3+10x^6+10x^9+5x^{12}+x^{15})*(1+5x^4+10x^8+10x^{12}+5x^{16}+x^{20}) \]
最后求出的式子指数表示后宫等级，系数表示方案数。

问题2

那么假如将问题1改为无限的人数呢？由于无限后宫，我们无法计算每种情况的方案数，但是可以计算出具体的方案状况，在这种情况下生成函数系数全置1

那么生成函数为
\[ g(x)=(1+x+x^2+x^3+...)*(1+x^2+x^4+...)*(1+x^3+x^6+x^9+x^{12}+x^{15}+...)*(1+x^4+x^8+x^{12}+x^{16}+x^{20}+...) \]

标签：12,5x,火火,颜值,生成,10x,等级,函数
来源： https://www.cnblogs.com/fluxation/p/12238877.html