【FJOI2015】最小覆盖双圆问题（坐标旋转）（二分）（最小圆覆盖）

传送门

发现可以在 $x$x 方向找到一个点 $mid$mid ，使得 $[1,mid],[mid+1,r]$[1,mid],[mid+1,r] 的点分别用一个圆来覆盖

然后可以二分 + 最小圆覆盖来解决

但这样显然是错的，因为划分可能不沿 $x$x 轴，于是我们可以将坐标轴旋转

考虑 $n\le 1000$n≤1000，加上二分，数据组数，大概可以旋转个 $100$100 次，每种旋转求一次即可

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顺便一提最小圆覆盖：

考虑增量法：
假设当前加入第 $i$i 个点，前 $i-1$i−1 个点求出的圆是 $C_{i-1}$Ci−1​
如果 $i$i 在圆中，那么可以跳过，如果 $i$i 不在圆中，那么 $i$i 一定在圆上
于是我们固定 $i$i 点，枚举 $j$j，假设当前加入 $j$j 点，前 $j-1$j−1 个点求出的最小圆是 $C_{i,j-1}$Ci,j−1​
如果 $j$j 在圆中那么可以跳过，否则 $j$j 一定在圆上，这个时候我们以 $i,j$i,j 为直径作圆
这个圆 $C_{i,j}$Ci,j​ 不一定包涵 $[1,j-1]$[1,j−1] 的点，于是我们继续枚举 $k\in [1,j-1]$k∈[1,j−1]，如果 $k$k 不在圆中那么 $k$k 在圆上，三点定圆，这样求出的圆一定包涵 $\{i\}\cup[1,j]${i}∪[1,j] 的所有点
考虑复杂度，$j$j 这一步是要枚举满的，但是进入 $k$k 的循环当且仅当 $j$j 在圆上，概率为 $3/j$3/j
第 $i$i 个点不在圆中的概率是 $3/i$3/i，这个时候才会进入 $j$j，于是复杂度为 $O(n)$O(n)

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
cs int N = 1e3 + 5;
cs double eps = 1e-8, PI = acos(-1.0);
cs double angle = PI/100, si=sin(angle), co=cos(angle);
cs double INF = 1e9;
int sgn(double a){ if(fabs(a)<eps) return 0; return a<0?-1:1; }
struct P{
	double x,y; P(double _x=0, double _y=0){ x=_x; y=_y; }
	friend P operator + (cs P &a, cs P &b){ return P(a.x+b.x,a.y+b.y); }
	friend P operator - (cs P &a, cs P &b){ return P(a.x-b.x,a.y-b.y); }
	friend double operator * (cs P &a, cs P &b){ return a.x*b.y-a.y*b.x; }
	P operator * (cs double &k){ return P(x*k, y*k); }
	double norm(){ return x*x+y*y; }
	P rot(){ return P(x*co-y*si, x*si+y*co); }
	bool operator < (cs P &a)cs{ return x<a.x; }
}p[N],q[N];

double dis(P a,P b){ return sqrt((a-b).norm()); }

struct Cir{
	P o; double r; Cir(){}
	Cir(cs P &_o, cs double &_r):o(_o),r(_r){}
	bool in(P a){ return r+eps>dis(a,o); }
}C;
int n; 
Cir getCir(P a,P b,P c){
	if(!sgn((a-b)*(b-c))){
		if(a.x==b.x){
			if((a.y<b.y)==(b.y<c.y)) return Cir((a+c)*0.5,dis(a,c)*0.5);
			if((a.y<c.y)==(c.y<b.y)) return Cir((a+b)*0.5,dis(a,b)*0.5);
			return Cir((b+c)*0.5,dis(b,c)*0.5);
		}
		else{
			if((a.x<b.x)==(b.x<c.x)) return Cir((a+c)*0.5,dis(a,c)*0.5);
			if((a.x<c.x)==(c.x<b.x)) return Cir((a+b)*0.5,dis(a,b)*0.5);
			return Cir((b+c)*0.5,dis(b,c)*0.5);
		}
	}
	double A=b.x-a.x,B=b.y-a.y,C=c.x-b.x,D=c.y-b.y,E=b.norm()-a.norm(),F=c.norm()-b.norm();
	P o(0.5*(B*F-D*E)/(B*C-A*D),0.5*(A*F-C*E)/(A*D-B*C)); 
	return Cir(o,dis(a,o));
}
double Solve(int l,int r){
	if(l>r) return 0; int n=0;
	for(int i=l;i<=r;i++) q[++n]=p[i];
	random_shuffle(q+1,q+n+1);
	C=Cir(q[1],0);
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!C.in(q[i])){
		C.o=q[i]; C.r=0;
		for(int j=1; j<i; j++) if(!C.in(q[j])){
			C.o=(q[i]+q[j])*0.5;
			C.r=dis(C.o,q[i]);
			for(int k=1;k<j;k++) if(!C.in(q[k])) C=getCir(q[i],q[j],q[k]);
		} 
	} return C.r;
}
int main(){
	srand(time(0));
	while(scanf("%d",&n)&&n){
		double ans=INF;
		for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
		for(int T=0; T<100; T++){
			for(int i=1; i<=n; i++) p[i]=p[i].rot();
			sort(p+1, p+n+1);
			int l=1, r=n;
			while(l<=r){
				int mid=(l+r)>>1; double r1=Solve(1,mid),r2=Solve(mid+1,n);
				if(min(r1,r2)>=ans) break;
				ans = min(ans,max(r1,r2));
				if(r1>r2) r=mid-1; else l=mid+1;
			} 
		} printf("%.2lf\n", ans);
	} return 0;
}

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标签：双圆,Ci,覆盖,int,最小,mid,jjj,cs,iii
来源： https://blog.csdn.net/sslz_fsy/article/details/104067955