拜占庭将军问题之口头协议
作者:互联网
本文介绍了在将军之间直接传送口头消息(Oral Messages)时,解决拜占庭将军问题的算法OM(m),并对其在m=1且n=4时进行了举例说明,最后对OM(m)算法进行了证明。
起源
拜占庭位于如今的土耳其的伊斯坦布尔,是东罗马帝国的首都。由于当时拜占庭罗马帝国国土辽阔,为了达到防御目的,每个军队都分隔很远,将军与将军之间只能靠信差传消息。 在战争的时候,拜占庭军队内所有将军和副官必须达成一致的共识,决定是否有赢的机会才去攻打敌人的阵营。但是,在军队内有可能存有叛徒和敌军的间谍,左右将军们的决定又扰乱整体军队的秩序。在进行共识时,结果并不代表大多数人的意见。这时候,在已知有成员谋反的情况下,其余忠诚的将军在不受叛徒的影响下如何达成一致的协议,拜占庭问题就此形成。 拜占庭将军问题实际上反映的是一个协议问题。 拜占庭帝国军队的将军们必须全体一致的决定是否攻击某一支敌军。问题是这些将军在地理上是分隔开来的,并且将军中存在叛徒。而这些叛徒可以采取任意的行动来破坏将军们的共识。 当这个问题出现的时候,只有满足了N≥3F+1才使得该问题有解。 比如说将军总数为10,那么叛徒的个数不能大于3,即叛徒的数量不能超过三分之一。实际上这便是少数服从多数的问题。前提
拜占庭将军问题一致性也需要一定的条件作为基础:IC1. 所有忠诚副官遵守同一命令 IC2. 如果发令官是忠诚的,每个忠诚的副官遵守他的命令。首先,为定义口头消息,拜占庭将军消息系统具有以下假设:
A1. 每个消息被正确发送。 A2. 消息的接收者知道是谁发送的消息 A3. 可以被检测到缺少消息假设A1和A2防止叛徒干扰其他两个将军的通信,假设A3防止叛徒通过不发消息干扰一致性达成。 另外,口头协议算法要求每个将军可以与其他任意将军直接进行通信,Leslie在其原文中的第五章中描述了不需要满足这个条件的算法。
OM(m)算法
Lamport针对口头消息(Oral Messages)的情况,提出了口头协议算法OM(m),其中m为非负。OM(m)算法是一个递归算法,用来处理在3m+1个将军中至多存在m个叛徒的情况。 默认行动:副官如果在指定时间内收不到来自司令的命令,则默认采取“撤退”行动。这是为了防止司令官为叛徒时,通过不发出命令来阻碍达成共识。 行动函数:算法假设使用majority方法作为行动函数,即当vi的大多数为v时,则majority(v1,...,v{n-1})=v注:其实对于行动函数,有两种比较容易想到的选择: * vi的大多数值v,如果不存在大多数采取默认行动——“撤退”; * 如果vi是个有序的集合,采用其中位数。OM(m)算法:采用递归定义,下面分别说明OM(0)和OM(m)的内容。 当m=0时,
OM(0)算法 (1) 司令发送他的值给每个副官; (2) 如果副官收到司令的值,使用这个值;否则,使用默认值——“撤退”。当m>0时,
OM(m)算法 (1) 司令发送他的值给每个副官; (2) 对于每个i,令vi为副官i从司令接收到的值;如果没有收到值,则v_i采用默认值——“撤退”。在OM(m-1)算法中,副官i作为司令向另外n-2个副官(不包括OM(m)中的司令)发送值vi。 (3) 对于每个i,对于每个j≠i的j,令vi为副官i在第(2)步中从副官j接收的值;如果没有接收到值,则使用默认值——“撤退”。副官i用majority(v1, ..., v{n-1})作为其值。
举例:m=1, n=4
-
当一个副官是叛徒时
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当司令为叛徒时
OM(m)算法证明
本节采用归纳法证明OM(m)算法能够解决拜占庭将军问题。引理
为了证明OM(m)算法,我们首先来证明一条引理:对于任意的m和k,如果在多于2k+m个将军中至多存在k个叛徒,则OM(m)算法满足条件IC2。证明: 归纳法,针对参数m进行归纳。 当m=0时,根据假设A1和OM(0)算法,易得如果司令是忠诚的,忠诚的将军按照司令的指令行动,引理是成立的。 当m>0时,假设在m-1时,引理成立,下面来证明在m时,引理也成立。 在OM(m)的第一步,司令发送值v给他的n-1个副官; 在第二步,每个忠诚的副官在n-1个副官中执行OM(m-1)算法。根据假设n>2k+m,则n-1>2k+(m-1),所以根据引理在m-1时成立,可得,每个忠诚的将军从忠诚的将军j处获得的值为vj=v。 在第三步中,由于叛徒最多有k个,且n-1>2k+(m-1)≥2k,所以n-1个将军中的忠诚将军为大多数。所以第三步每个忠诚的将军获得值majority(v1, ..., v{n-1})=v,满足条件IC2。 引理得证。
证明
下面来证明算法OM(m)能够解决拜占庭将军问题。定理 1:对于任意m,如果存在多于3m个将军中至多有m个叛徒时,OM(m)算法满足条件IC1和IC2。证明:针对变量m采用归纳法。 当m=0时,即没有叛徒存在,则很容易证明OM(0)满足条件IC1和IC2。 假设在m-1时,定理成立,下面证明在m时,定理也成立。
- 当司令是忠诚的
- 当司令是叛徒时
- Lamport L, Shostak R, Pease M. The Byzantine generals problem[J]. ACM Transactions on Programming Languages and Systems (TOPLAS), 1982, 4(3): 382-401.
标签:叛徒,OM,将军,算法,拜占庭,副官,忠诚,口头 来源: https://www.cnblogs.com/jockming/p/12096288.html