每日一题_191003

在面积为\(1\)的\(\triangle ABC\)中,\(a,b,c\)为角\(A,B,C\)所对的边,则\(\dfrac{b^2(1+\cos A)(1+\cos C)}{1-\cos B}\)的最小值为\(\underline{\qquad\qquad}.\)

解析:
法一 \(\qquad\)记所求表达式为\(M\),则由余弦定理有\[ \begin{split} M&=\dfrac{b^2\cdot \left(1+\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\cdot \left(1+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}{1-\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]}{\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right]}\\ &=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2\\ &\geqslant 6\sqrt{3}. \end{split}\]
当且仅当\(\triangle ABC\)为正三角形时,上述不等式取等,因此\(M\)的最小值为\(6\sqrt3\).

法二\(\qquad\)记待求表达式为\(M\),则\[ \begin{split} M&=\dfrac{b^2\left(1+\cos A\right)\left(1+\cos C\right)}{\dfrac{1}{2}bc\sin A\left(1-\cos B\right)}\\ &=2\cot \dfrac{A}{2}\cot\dfrac{B}{2}\cot\dfrac{C}{2}. \end{split}\]
由于我们熟知三角恒等式\[\cot\dfrac{A}{2}\cot\dfrac{B}{2}\cot\dfrac{C}{2}=\cot\dfrac{A}{2}+\cot\dfrac{B}{2}+\cot\dfrac{C}{2}.\]因此\[ \cot \dfrac{A}{2}\cot\dfrac{B}{2}\cot\dfrac{C}{2}\geqslant 3\sqrt[3]{\cot \dfrac{A}{2}\cot\dfrac{B}{2}\cot\dfrac{C}{2}} .\]因此\[M\geqslant 2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}.\]
当且仅当\(A=B=C=\dfrac{\pi}{3}\)时,\(M\)取得最小值\(6\sqrt3\).

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来源： https://www.cnblogs.com/Math521/p/11614533.html