文章目录

• 特征值与特征向量
• 一些结论
• 158
• 167【证明题:特征向量的和不是特征向量】
• 171【$A^*,A^T$的特征值】
• 179【秩为1的方阵的特征值】
• 181【证明题：特征向量之间线性无关】
• 182【证明题：满足任意解的是0矩阵】
• 184【证明题：AB，BA有相同的特征值】
• 189【证明题】
• 191【给特征向量求矩阵】
• 195【给特征向量求矩阵】
• 192（打星）
• 196【结论题】【A,B相似能推出哪些】
• 相似
• 203【证明题】（打星）
• 204【证明题】???
• 205
• 207（打星）
• 208【证明题】
• 209【证明题】
• 211【矩阵相似求未知数】
• 212【矩阵相似求未知数】
• 214【证明题】

特征值与特征向量

一些结论

①：$\lambda_1\lambda_2...\lambda_n=|A|$λ1​λ2​...λn​=∣A∣
②：$\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=tr(A)$λ1​+λ2​+...+λn​=tr(A)
③：$AX=0\Rightarrow \lambda=0也是其中的一个特征向量$AX=0⇒λ=0也是其中的一个特征向量
④：$A的特征值为\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_1则\Rightarrow kE+A^n的特征值为k+\lambda_1^n,k+\lambda_2^n,...,k+\lambda_n^n$A的特征值为λ1​,λ2​,...,λ1​则⇒kE+An的特征值为k+λ1n​,k+λ2n​,...,k+λnn​
⑤：$A与B相似只能说明特征值相同,但是特征向量不一定相同,并且A和B不一定阔以对角化$A与B相似只能说明特征值相同,但是特征向量不一定相同,并且A和B不一定阔以对角化
⑥：$\alpha\beta^T的特征值为\left\{\begin{matrix} 0,(n-1)重根\\ \\ \alpha^T\beta \end{matrix}\right.$αβT的特征值为⎩⎨⎧​0,(n−1)重根αTβ​
设$A=\alpha\beta^T$A=αβT
$A\alpha=(\alpha\beta^T)\alpha=\alpha(\beta^T\alpha),其中\alpha^T\beta=\beta^T\alpha是一个数$Aα=(αβT)α=α(βTα),其中αTβ=βTα是一个数
⑦：
关于特征值：
$A是\lambda\Leftrightarrow A^T是\lambda\ \ \ \ \ \ 阔以加个转置符号后行列式的值不得变这样来证:|(\lambda E-A)|=|(\lambda E-A)^T|=|(\lambda E-A^T)|$A是λ⇔AT是λ      阔以加个转置符号后行列式的值不得变这样来证:∣(λE−A)∣=∣(λE−A)T∣=∣(λE−AT)∣
$A是\lambda\Rightarrow A^*是\frac{|A|}{\lambda}\ \ \ \ \ \ 反过来就不行，因为当r(A)<n-1的时候,A^*=O,因此任意的非零列向量都是他的特征向量$A是λ⇒A∗是λ∣A∣​      反过来就不行，因为当r(A)<n−1的时候,A∗=O,因此任意的非零列向量都是他的特征向量
$A是\lambda\Rightarrow A^2是\lambda\ \ \ \ \ \ \ 同样也是反过来就不行,因为设A\beta_1=\beta_1,A\beta_2=-\beta_2,那么A^2(\beta_1+\beta_2)=\beta_1+\beta_2,而特征向量的和不是特征向量,所以反过来不行$A是λ⇒A2是λ       同样也是反过来就不行,因为设Aβ1​=β1​,Aβ2​=−β2​,那么A2(β1​+β2​)=β1​+β2​,而特征向量的和不是特征向量,所以反过来不行
$A是\lambda\Leftrightarrow kA是\lambda$A是λ⇔kA是λ
关于特征向量：
$A,A^T的特征矩阵没啥关系,想一哈哇,特征值都已经相等了，特征向量再相同的话,那这两个矩阵就是同一个矩阵了（前提是要可对角化）$A,AT的特征矩阵没啥关系,想一哈哇,特征值都已经相等了，特征向量再相同的话,那这两个矩阵就是同一个矩阵了（前提是要可对角化）
$A是\alpha\Rightarrow A^*是\alpha$A是α⇒A∗是α

$A是\alpha\Rightarrow A^2是\alpha$A是α⇒A2是α

$A是\alpha\Rightarrow kA是\alpha$A是α⇒kA是α

158

$A与B相似,下列正确的是$A与B相似,下列正确的是
（A）$\lambda E-A=\lambda E-B$λE−A=λE−B
（B）$A与B有相同的特征值与特征向量$A与B有相同的特征值与特征向量
（C）$A与B都相似与同一个对角阵$A与B都相似与同一个对角阵
（D）$对于任意常数t,有tE-A与tE-B相似$对于任意常数t,有tE−A与tE−B相似

A选项感觉就是用来靠反应的，没说$\lambda$λ是特征值，所以当然不成立啦
B选项特征值相同但是特征向量不相同，不然都是$P^{-1}\Lambda P$P−1ΛP那不是相等的两个矩阵了蛮
C选项又是靠反应，如果都阔以对角化那肯定是相同的，因为这个对角阵就是用特征值组成的嘛，但关键就是不一定阔以对角化呀
D选项看答案才知道的
$tE-B=P^{-1}tEP-P^{-1}AP=P^{-1}(tE-A)P$tE−B=P−1tEP−P−1AP=P−1(tE−A)P

167【证明题:特征向量的和不是特征向量】

$\lambda_1,\lambda_2,X_1,X_2分别是A矩阵的两个不同的特征值和特征向量,证明：X_1+X_2不是A的特征向量$λ1​,λ2​,X1​,X2​分别是A矩阵的两个不同的特征值和特征向量,证明：X1​+X2​不是A的特征向量
说了反正法我感觉还是不晓得怎么个反证的
设$A(X_1+X_2)=\lambda(X_1+X_2)$A(X1​+X2​)=λ(X1​+X2​)
然后代入特征值移项，要弄出：

$(\lambda_1-\lambda)X_1+(\lambda_2-\lambda)X_2=0$(λ1​−λ)X1​+(λ2​−λ)X2​=0

然后要反应出$X_1,X_2$X1​,X2​线性无关，这个应该是个得分点
因此要等式成立就只能让$\lambda_1=\lambda_2=\lambda$λ1​=λ2​=λ这样就矛盾了就证到了

171【$A^*,A^T$A∗,AT的特征值】

$A是n阶矩阵,下列正确的是$A是n阶矩阵,下列正确的是
（A）$若\alpha为A^T的特征向量,那么\alpha也为A的特征向量$若α为AT的特征向量,那么α也为A的特征向量

（B）$若\alpha为A^*的特征向量,那么\alpha也为A的特征向量$若α为A∗的特征向量,那么α也为A的特征向量

（C）$若\alpha为A^2的特征向量,那么\alpha也为A的特征向量$若α为A2的特征向量,那么α也为A的特征向量

（D）$若\alpha为2A的特征向量,那么\alpha也为A的特征向量$若α为2A的特征向量,那么α也为A的特征向量
D这个正确答案还是比较容易选出来的，但是其他的错在哪里却没那么容易找出来

比如A，我还不知道$A^T$AT的特征值与$A$A是相等的，其他的都弄到上面作为结论了~

179【秩为1的方阵的特征值】

$n阶矩阵的元素全是1,则A的n个特征值是$n阶矩阵的元素全是1,则A的n个特征值是
答案是$\left\{\begin{matrix} 0,(n-1)重根\\ \\ n \end{matrix}\right.$⎩⎨⎧​0,(n−1)重根n​
因此这道题阔以写成$\alpha\beta^T$αβT这个样子，所以很快就能得到答案

181【证明题：特征向量之间线性无关】

$(1)\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n是互异的特征值,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n为对应特征向量,证明:\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性无关$(1)λ1​,λ2​,...,λn​是互异的特征值,α1​,α2​,...,αn​为对应特征向量,证明:α1​,α2​,...,αn​线性无关
这个很牛皮呀，归纳着来证明的，用$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{k-1}$α1​,α2​,...,αk−1​线性无关来证明$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{k-1},\alpha_k$α1​,α2​,...,αk−1​,αk​线性无关

设有$l_1\alpha_1+l_2\alpha_2+...+l_k\alpha_k=0$l1​α1​+l2​α2​+...+lk​αk​=0
两边同时乘上A以及同时乘上$\lambda_k$λk​就有

$\left\{\begin{matrix} l_1\lambda_1\alpha_1+l_2\lambda_2\alpha_2+...+l_k\lambda_k\alpha_k=0\\ \\ l_1\lambda_k\alpha_1+l_2\lambda_k\alpha_2+...+l_{k}\lambda_k\alpha_{k}=0 \end{matrix}\right.$⎩⎨⎧​l1​λ1​α1​+l2​λ2​α2​+...+lk​λk​αk​=0l1​λk​α1​+l2​λk​α2​+...+lk​λk​αk​=0​

上式减去下式：

$l_1(\lambda_1-\lambda_k)\alpha_1+l_2(\lambda_2-\lambda_k)\alpha_2+...+l_{k-1}(\lambda_{k-1}-\lambda_k)\alpha_{k-1}=0$l1​(λ1​−λk​)α1​+l2​(λ2​−λk​)α2​+...+lk−1​(λk−1​−λk​)αk−1​=0
而这$k-1$k−1个$\alpha$α是线性无关的，所以系数是只有全为0才成立，然后再把这个带进最上面的式子就能得到$l_k$lk​也等于0
$(2)A,B为n阶方阵,|B|不等于0,若|\lambda B-A|=0的全部根\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n互异,\alpha_i是(\lambda_i B-A)X=0的非零解,证明:\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性无关$(2)A,B为n阶方阵,∣B∣不等于0,若∣λB−A∣=0的全部根λ1​,λ2​,...,λn​互异,αi​是(λi​B−A)X=0的非零解,证明:α1​,α2​,...,αn​线性无关
这个长得就跟求特征值的那个差不多，因此阔以把他弄成那个样子，两边右乘$B^{-1}$B−1
$\left\{\begin{matrix} |\lambda_iE-AB^{-1}|=0\\ \\ (\lambda_i-AB^{-1})X=0 \end{matrix}\right.$⎩⎨⎧​∣λi​E−AB−1∣=0(λi​−AB−1)X=0​
然后第一个式子的特征值就是$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$λ1​,λ2​,...,λn​
第二个式子的特征向量就是$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$α1​,α2​,...,αn​
因此由第一问的证明得到线性无关

182【证明题：满足任意解的是0矩阵】

$A是n阶方阵,若AX=O对任意的X成立,证明A=O$A是n阶方阵,若AX=O对任意的X成立,证明A=O
答案的后面两个方法比较写得简单
法二：
因为对任意的$X$X成立，那么令$X=e_i$X=ei​
$Ae_1+Ae_2+...+Ae_n=A[e_1,e_2,...,e_n]=AE=A=O$Ae1​+Ae2​+...+Aen​=A[e1​,e2​,...,en​]=AE=A=O
法三：
由题意阔以知道方程组的基础解系的个数是n（感觉模模糊糊的知道）
那就能得到$r(A)=0$r(A)=0
所以$A=O$A=O

184【证明题：AB，BA有相同的特征值】

$A,B为n阶矩阵,证明:AB,BA有相同的特征值$A,B为n阶矩阵,证明:AB,BA有相同的特征值
法一：定义法
设$AB\xi=\lambda\xi$ABξ=λξ
同时左乘$B$B
$BAB\xi=B\lambda\xi=\lambda B\xi$BABξ=Bλξ=λBξ

然后把$B\xi看成一个新的向量\eta$Bξ看成一个新的向量η
就阔以写成
$BA\eta=\lambda \eta$BAη=λη
因此特征值相同

法二：用性质
我一开始也是想这样搞，但是没搞出来，就是把$|\lambda E-AB|化化化，然后化成|\lambda E-BA|$∣λE−AB∣化化化，然后化成∣λE−BA∣
$|\lambda E-AB|=\begin{vmatrix} \lambda E&A \\ O&E-\frac{1}{\lambda}AB \end{vmatrix},_{r_2=r_2+\frac{1}{\lambda}r1B},=\begin{vmatrix} \lambda E&A \\ B&E \end{vmatrix},_{r_2=r_2-\frac{1}{\lambda}Br1},=\begin{vmatrix} \lambda E&A \\ O&E-\frac{1}{\lambda}BA \end{vmatrix}=|\lambda E-BA|$∣λE−AB∣=∣∣∣∣​λEO​AE−λ1​AB​∣∣∣∣​,r2​=r2​+λ1​r1B​,=∣∣∣∣​λEB​AE​∣∣∣∣​,r2​=r2​−λ1​Br1​,=∣∣∣∣​λEO​AE−λ1​BA​∣∣∣∣​=∣λE−BA∣
我刚开始一看答案这种做法觉得很懵逼，其实是这样来的
最关键的是这个行列式$\begin{vmatrix} \lambda E&A \\ B&E \end{vmatrix}$∣∣∣∣​λEB​AE​∣∣∣∣​如果看成数的话，那么计算这个行列式的时候用 主对角线-副对角线 ，副对角线算成$AB$AB或者$BA$BA都无所谓，但是现在是矩阵了，就不行

但是分块矩阵算行列式是阔以弄成上三角来算得哇

所以消去第二行的时候把第一行左乘右乘都阔以，而上面的两种形式其实就是这里的左乘或者右乘的来的，因此他们两个是相等的

然后上面$\lambda$λ作为分母了，再说一哈$\lambda=0$λ=0的时候，$|OE-AB|=-|A||B|=|B||A|=-|BA|=|OE-BA|$∣OE−AB∣=−∣A∣∣B∣=∣B∣∣A∣=−∣BA∣=∣OE−BA∣

189【证明题】

$A\xi=\lambda\xi,A^T\eta=\mu\eta,且\lambda不等于\mu,证明:\xi,\eta正交$Aξ=λξ,ATη=μη,且λ不等于μ,证明:ξ,η正交
$\because A\xi=\lambda\xi$∵Aξ=λξ
$\therefore \xi^TA^T=\lambda\xi^T$∴ξTAT=λξT
同时右乘$\eta$η
$\xi^TA^T\eta=\lambda\xi^T\eta$ξTATη=λξTη
$\xi^T\mu\eta=\lambda\xi^T\eta\Rightarrow(\mu-\lambda)\xi^T\eta=0\Rightarrow \xi^T\eta=0$ξTμη=λξTη⇒(μ−λ)ξTη=0⇒ξTη=0

191【给特征向量求矩阵】

$A是三阶对称矩阵,\lambda_1=-1,\lambda_2=\lambda_3=1,对应特征向量\xi_i=[0,1,1]^T,求A$A是三阶对称矩阵,λ1​=−1,λ2​=λ3​=1,对应特征向量ξi​=[0,1,1]T,求A
对称阵就是说明可对角化
然后是通过选取合适的不相关的$\xi_2,\xi_3$ξ2​,ξ3​，然后与$\xi_1$ξ1​共同组成特征向量$P$P，然后由$A=P\Lambda P^{-1}$A=PΛP−1算出来
$\xi_2,\xi_3$ξ2​,ξ3​好像是解出来的
是什么方程解出来的喃，就是用$\xi_1$ξ1​解出来
方程的建立就是特征向量之间是正交的：$\left\{\begin{matrix} \xi_2^T\xi_1=0\\ \\ \xi_3^T\xi_1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0x_1+x_2+x_3=0\\ \\ 0x_1+x_2+x_3=0 \end{matrix}\right.$⎩⎨⎧​ξ2T​ξ1​=0ξ3T​ξ1​=0​⇒⎩⎨⎧​0x1​+x2​+x3​=00x1​+x2​+x3​=0​
两个方程是一样的是对滴，因为秩是1才有会两个线性无关的方程组
怎么解出来不对喃？？？
就是解出来的。。。
解系是：$\left\{\begin{matrix} x_1=x_1\\ x_2=-x_3 \\ x_3=x_3 \end{matrix}\right.$⎩⎨⎧​x1​=x1​x2​=−x3​x3​=x3​​

然后$\begin{bmatrix} x_1\\ x_3 \end{bmatrix}$[x1​x3​​]取$\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}$[01​]和$\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}$[10​]

就得到$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\0 \\0 \end{bmatrix}和\begin{bmatrix} 0\\-1 \\1 \end{bmatrix}$⎣⎡​x1​x2​x3​​⎦⎤​=⎣⎡​100​⎦⎤​和⎣⎡​0−11​⎦⎤​了(✪ω✪)
这道题没有算$P^{-1}$P−1，而是弄成正交矩阵，这个我今天才反应过来：正交的向量组成的矩阵不一定就是正交矩阵，还差一步单位化

195【给特征向量求矩阵】

$A是三阶对称阵,每行元素之和为3,\lambda_1=\lambda_2=1,求A的特征值特征向量,并求A^n$A是三阶对称阵,每行元素之和为3,λ1​=λ2​=1,求A的特征值特征向量,并求An

这道题跟上面的的191题差不多呀，为啥这道题的$\xi_1,\xi_2$ξ1​,ξ2​就能求出来喃？
每行之和为3能得到$\lambda_3=3,\xi_3=[1,1,1]^T$λ3​=3,ξ3​=[1,1,1]T
$\left\{\begin{matrix} \xi_1^T\xi_3=0\\ \\ \xi_2^T\xi_3=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2+x_3=0\\ \\ x_1+x_2+x_3=0 \end{matrix}\right.$⎩⎨⎧​ξ1T​ξ3​=0ξ2T​ξ3​=0​⇒⎩⎨⎧​x1​+x2​+x3​=0x1​+x2​+x3​=0​
同样秩是1才有两个线性无关的解系

这道题就能很自然地解出来$\left\{\begin{matrix} \xi_1=[-1,1,0]^T\\ \\ \xi_2=[-1,0,1]^T \end{matrix}\right.$⎩⎨⎧​ξ1​=[−1,1,0]Tξ2​=[−1,0,1]T​

192（打星）

$特征值特征向量分别是\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$特征值特征向量分别是λ1​,λ2​,λ3​,α1​,α2​,α3​,β=α1​+α2​+α3​
$(1)证明:\beta,A\beta,A^2\beta线性无关$(1)证明:β,Aβ,A2β线性无关
写出来就是个范德蒙行列式还算比较好搞
$(2)若A^3\beta=A\beta,求r(A-E)以及杭历史|A+2E|$(2)若A3β=Aβ,求r(A−E)以及杭历史∣A+2E∣
主要就是这个第二问感觉不好怎，我记得好像做过，但是还是没思路
因为一般都要用到第一问的结论，而第一问最多才2次方，因此再乘一个$A$A

$A\left[\beta, A \beta, A^{2} \beta\right]=\left[A \beta, A^{2} \beta, A^{3} \beta\right]=\left[A \beta, A^{2} \beta, A \beta\right]=\left[\beta, A \beta, A^{2} \beta\right]\left[\begin{array}{lll}{0} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {0}\end{array}\right]$A[β,Aβ,A2β]=[Aβ,A2β,A3β]=[Aβ,A2β,Aβ]=[β,Aβ,A2β]⎣⎡​010​001​010​⎦⎤​

令$P=[\beta,A\beta,A^2\beta]$P=[β,Aβ,A2β]，并且由第一问知道她是线性无关的，因此是可逆的

上面的等式就阔以写成：
$AP=P\left[\begin{array}{lll}{0} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {0}\end{array}\right]$AP=P⎣⎡​010​001​010​⎦⎤​

再令$C=\left[\begin{array}{lll}{0} & {0} & {0} \\ {1} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {0}\end{array}\right]$C=⎣⎡​010​001​010​⎦⎤​

即$P^{-1}AP=C$P−1AP=C

因此$A$A与$C$C这个矩阵是相似的，所以之也相等

$\therefore r(A-E)=r(C-E)=r(\left[\begin{array}{lll}{-1} & {0} & {0} \\ {1} & {-1} & {1} \\ {0} & {1} & {-1}\end{array}\right])=2$∴r(A−E)=r(C−E)=r(⎣⎡​−110​0−11​01−1​⎦⎤​)=2

哇塞，真的很牛皮啊

然后
$|A+2E|=|P^{-1}CP+2E|=|P^{-1}CP+2P^{-1}P|=|P^{-1}||C+2E||P|=|C+2E|$∣A+2E∣=∣P−1CP+2E∣=∣P−1CP+2P−1P∣=∣P−1∣∣C+2E∣∣P∣=∣C+2E∣

196【结论题】【A,B相似能推出哪些】

$A,B都是n阶矩阵,A可逆且A\sim B,下列正确的有$A,B都是n阶矩阵,A可逆且A∼B,下列正确的有
①：$AB\sim BA$AB∼BA
②：$A^2\sim B^2$A2∼B2
③：$A^T\sim B^T$AT∼BT
④：$A^{-1}\sim B^{-1}$A−1∼B−1
都是对滴(✪ω✪)
①：
$BA=A^{-1}ABA=A^{-1}(AB)A,卧槽,P矩阵就是A,并且说了A是可逆的$BA=A−1ABA=A−1(AB)A,卧槽,P矩阵就是A,并且说了A是可逆的
②：
$设P^{-1}AP=B$设P−1AP=B
$那么B^2=P^{-1}APP^{-1}AP=P^{-1}A^2P$那么B2=P−1APP−1AP=P−1A2P所以相似
③：
同理：
$B^T=(P^{-1}AP)^T=P^TA^T{P^T}^{-1},把{P^T}^{-1}看成一个新的P矩阵$BT=(P−1AP)T=PTATPT−1,把PT−1看成一个新的P矩阵
④：
跟转置的思路一样

相似

203【证明题】（打星）

$A是n阶矩阵,满足A^2=A,r(A)=r,证明:A\sim \begin{bmatrix} E_r&O \\ O & O \end{bmatrix}$A是n阶矩阵,满足A2=A,r(A)=r,证明:A∼[Er​O​OO​]

这道题主要就是把她的特征向量找到
$\because A(E-A)=O\Rightarrow \lambda_1=0,\lambda_2=1$∵A(E−A)=O⇒λ1​=0,λ2​=1
当$\lambda=0$λ=0的时候，因为题目给了$r(A)$r(A)的秩是r，因此有$n-r$n−r个线性无关的向量$\xi_{r+1},\xi_{r+2},...,\xi_n$ξr+1​,ξr+2​,...,ξn​

但是当$\lambda=1$λ=1的时候，要知道$r(E-A)$r(E−A)的秩才行

$因此根据秩的不等式得到:r(A+E-A)\leq r(A)+r(E-A)\Rightarrow r(E-A)=n-r$因此根据秩的不等式得到:r(A+E−A)≤r(A)+r(E−A)⇒r(E−A)=n−r

$\therefore 当\lambda=1的时候有r个线性无关的向量\xi_1,\xi_2,...,\xi_r$∴当λ=1的时候有r个线性无关的向量ξ1​,ξ2​,...,ξr​
所以存在可逆矩阵$P=[\xi_1,\xi_2,...,\xi_n]使得相似$P=[ξ1​,ξ2​,...,ξn​]使得相似

不喜欢这种题，感觉说起来很繁琐

答案给了法二，感觉也差不多，多少要说明有r和n-r个线性无关的向量
法二：
他是假设$r$r个线性无关的列向量都在前面
$A^{2}=A\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{-}, \cdots\right]=\left[\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{r}, \cdots\right]=A$A2=A[ξ1​,ξ2​,⋯,ξ−​,⋯]=[ξ1​,ξ2​,⋯,ξr​,⋯]=A
同样是说明$A\xi_i=\xi_i$Aξi​=ξi​的有$r$r个，哎好烦啊不写了

204【证明题】???

$A,B都是n阶矩阵,且AB=BA,证明:B相似与对角阵$A,B都是n阶矩阵,且AB=BA,证明:B相似与对角阵
感觉这个证明没啥意思得，就当个结论吧，他就是把写成两种形式，然后不在对角线上的本来应该相等但是没相等，因此系数就等于0了

205

$A=E+\alpha\beta^T,且\alpha^T\beta=2,\alpha,\beta都是非零列向量$A=E+αβT,且αTβ=2,α,β都是非零列向量
$(1)求A的特征值特征向量$(1)求A的特征值特征向量
根据结论直接就能知道，特征值，但是特征向量我还搞不来，而且我才知道，我上面是右乘$\alpha$α来弄的，原来也阔以左乘$\beta^T$βT

$(E+\alpha\beta^T)\xi=\lambda\xi$(E+αβT)ξ=λξ

同时左乘$\beta^T$βT

$(E+\alpha\beta^T)\xi=\lambda\xi$(E+αβT)ξ=λξ

$3\beta^T\xi=\lambda \beta^T\xi$3βTξ=λβTξ

很明显$\lambda=3$λ=3，but，however，nevertheless，$\lambda=1$λ=1从哪里得到的喃？

原来是当 $\beta^T\xi=O$βTξ=O的时候，根据最原始的式子：$(E+\alpha\beta^T)\xi=\lambda\xi$(E+αβT)ξ=λξ 得到的

然后求特征向量：
①：当$\lambda=1时$λ=1时：
方程为：$(E-A)X=O$(E−A)X=O
$-\alpha\beta^TX=O$−αβTX=O
然后$\alpha$α阔以直接没了，为啥子喃？
变成$\beta^TX=O$βTX=O

这个方程看了答案我都还没反应过来，其实就是相当于只有一行T_T

相当于是：
$b_1x_1+b_2x_2+...+b_nx_n=0$b1​x1​+b2​x2​+...+bn​xn​=0

②：当$\lambda=3$λ=3的时候：
$(3E-A)X=O$(3E−A)X=O
$(2E-\alpha\beta^T)X=O$(2E−αβT)X=O

这个感觉不是解出来的，感觉是刚好凑出来的。。。
解就是$\alpha$α

因为带进去就是：$(2E-\alpha\beta^T)\alpha=2\alpha-\alpha(2)=0$(2E−αβT)α=2α−α(2)=0

好像能够得出个结论，$A=(kE+\alpha\beta^T)$A=(kE+αβT)的单根的特征向量就是 $\alpha$α
阔以设$\alpha^T\beta=t$αTβ=t，那么$\lambda=k+t$λ=k+t
$(\lambda E-A)X=O$(λE−A)X=O
$[(k+t)E-(kE+\alpha\beta^T)]X=O$[(k+t)E−(kE+αβT)]X=O
$(tE-\alpha\beta^T)X=O$(tE−αβT)X=O阔以发现：$\alpha$α就是解

207（打星）

$A=\left[\begin{array}{cccccc}{0} & {1} & {0} & {\cdots} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {\cdots} & {0} & {0} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {0} & {0} & {0} & {\cdots} & {0} & {1} \\ {-a_{0}} & {-a_{1}} & {-a_{2}} & {\cdots} & {-a_{n-2}} & {-a_{n-1}}\end{array}\right]$A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​00⋮0−a0​​10⋮0−a1​​01⋮0−a2​​⋯⋯⋯⋯​00⋮0−an−2​​00⋮1−an−1​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​
$(1)若\lambda是A的特征值,证明:\xi=\left[1, \lambda, \lambda^{2}, \cdots, \lambda^{n-1}\right]^{\mathrm{T}}是A的特征向量$(1)若λ是A的特征值,证明:ξ=[1,λ,λ2,⋯,λn−1]T是A的特征向量

这个很牛皮啊
如果是特征向量，那么会满足$A\xi=\lambda \xi$Aξ=λξ
$A \xi=\left[\begin{array}{cccccc}{0} & {1} & {0} & {\cdots} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {\cdots} & {0} & {0} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {0} & {0} & {0} & {\cdots} & {0} & {1} \\ {-a_{0}} & {-a_{1}} & {-a_{2}} & {\cdots} & {-a_{n-2}} & {-a_{n-1}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{1} \\ {\lambda} \\ {\lambda^{2}} \\ {\vdots} \\ {\lambda^{n-1}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\lambda} \\ {\lambda^{2}} \\ {\lambda^{3}} \\ {\lambda^{3}} \\ {\vdots} \\ \\ {-\sum_{i=0}^{n-1} a_{i} \lambda^{i}}\end{array}\right]$Aξ=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​00⋮0−a0​​10⋮0−a1​​01⋮0−a2​​⋯⋯⋯⋯​00⋮0−an−2​​00⋮1−an−1​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​1λλ2⋮λn−1​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​λλ2λ3λ3⋮−∑i=0n−1​ai​λi​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

阔以看到最后一行很奇怪，其他的都正常，哇，结果是阔以变成$\lambda^n的$λn的，这个关系是用$|\lambda E-A|=0$∣λE−A∣=0得来的，简直牛皮

$|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccccc}{\lambda} & {-1} & {0} & {\cdots} & {0} & {0} \\ {0} & {\lambda} & {-1} & {\cdots} & {0} & {0} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {0} & {0} & {0} & {\cdots} & {\lambda} & {-1} \\ {a_{0}} & {a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n-2}} & {\lambda+a_{n-1}}\end{array}\right|=0$∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​λ0⋮0a0​​−1λ⋮0a1​​0−1⋮0a2​​⋯⋯⋯⋯​00⋮λan−2​​00⋮−1λ+an−1​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=0
而这个行列式的计算也是个难点
根据答案所说的：把第二列的$\lambda$λ倍，第三列的$\lambda^2$λ2倍…最后一列的$\lambda^{n-1}$λn−1倍加到第一列，再展开
$|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccccc}{0} & {-1} & {0} & {\cdots} & {0} & {0} \\ {0} & {\lambda} & {-1} & {\cdots} & {0} & {0} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {0} & {0} & {0} & {\cdots} & {\lambda} & {-1} \\ {\lambda^{n}+\sum_{i=0}^{n-1} a_{i} \lambda^{i}} & {a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n-2}} & {\lambda+a_{n-1}}\end{array}\right|=(-1)^{n+1}\left(\lambda^{n}+\sum_{i=0}^{n-1} a_{i} \lambda^{i}\right)(-1)^{n-1}=0$∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​00⋮0λn+∑i=0n−1​ai​λi​−1λ⋮0a1​​0−1⋮0a2​​⋯⋯⋯⋯​00⋮λan−2​​00⋮−1λ+an−1​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=(−1)n+1(λn+i=0∑n−1​ai​λi)(−1)n−1=0
$\therefore -\sum_{i=0}^{n-1} a_{i} \lambda^{i}=\lambda^{n}$∴−∑i=0n−1​ai​λi=λn
所以就把上面的替换了，这种题感觉就只能猜他是这种套路然后来做
$(2)若A有n个互异的特征值\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n,求可逆矩阵P,使得P^{-1}AP=\Lambda$(2)若A有n个互异的特征值λ1​,λ2​,...,λn​,求可逆矩阵P,使得P−1AP=Λ
这道题就是要用第一问的结论才行：
$\lambda_i的特征向量\xi_i$λi​的特征向量ξi​就是$[1,\lambda_i,\lambda_i^2,...,\lambda_i^{n-1}]^T$[1,λi​,λi2​,...,λin−1​]T

所以特征矩阵$P$P就是：$P=[\xi_1,\xi_2,...,\xi_n]$P=[ξ1​,ξ2​,...,ξn​]

208【证明题】

$A是三阶矩阵,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3是三维列向量且\alpha_1非零,满足:A\alpha_1=2\alpha_1,A\alpha_2=\alpha_1+2\alpha_2,A\alpha_3=\alpha_2+2\alpha_3$A是三阶矩阵,α1​,α2​,α3​是三维列向量且α1​非零,满足:Aα1​=2α1​,Aα2​=α1​+2α2​,Aα3​=α2​+2α3​
$(1)证明:\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关$(1)证明:α1​,α2​,α3​线性无关
我本来想这样做的：
$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(2\alpha_1,\alpha_1+2\alpha_2,\alpha_2+2\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{bmatrix} 2&1 &0 \\ 0&2 &1 \\ 0&0 &2 \end{bmatrix}$A(α1​,α2​,α3​)=(2α1​,α1​+2α2​,α2​+2α3​)=(α1​,α2​,α3​)⎣⎡​200​120​012​⎦⎤​

但是我发现，好像没有说$A$A是可逆的什么的呀，感觉不好搞了
而且我突然发现，这个好像就是用来给第二问做铺垫的

正解是这样做的：
由题意阔以得到：
$\left\{\begin{matrix} (A-2E)\alpha_1=0\\ \\ (A-2E)\alpha_2=\alpha_1 \\ \\ (A-2E)\alpha_3=\alpha_2 \end{matrix}\right.$⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​(A−2E)α1​=0(A−2E)α2​=α1​(A−2E)α3​=α2​​

设有$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0$k1​α1​+k2​α2​+k3​α3​=0

两端左乘$(A-2E)$(A−2E)
$0+k_2(A-2E)\alpha_2+k_3(A-2E)\alpha_3=0$0+k2​(A−2E)α2​+k3​(A−2E)α3​=0
$k_2\alpha_1+k_3\alpha_2=0$k2​α1​+k3​α2​=0

再继续左乘$(A-2E)$(A−2E)变成：
$k_3\alpha_1=0$k3​α1​=0
而$\alpha_1不等于0\Rightarrow k_3=0$α1​不等于0⇒k3​=0

这样就能倒推回去$k_1=k_2=k_3=0$k1​=k2​=k3​=0就线性相关了，妙啊(｀・ω・´)

$(2)A能否相似于对角阵$(2)A能否相似于对角阵

$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(2\alpha_1,\alpha_1+2\alpha_2,\alpha_2+2\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{bmatrix} 2&1 &0 \\ 0&2 &1 \\ 0&0 &2 \end{bmatrix}$A(α1​,α2​,α3​)=(2α1​,α1​+2α2​,α2​+2α3​)=(α1​,α2​,α3​)⎣⎡​200​120​012​⎦⎤​
就阔以写成：
$AC=CB$AC=CB
$\therefore A\sim B$∴A∼B

所以就看$B$B能不能对角化就行了
$B$B刚好是上三角，特征值就是主对角线，因此有三重根$\lambda=2$λ=2
但是$r(2E-B)=2$r(2E−B)=2不等于0，所以不能对角化

209【证明题】

$A=\alpha\beta^T,tr(A)=a不等于0,z证明:A相似于对称阵$A=αβT,tr(A)=a不等于0,z证明:A相似于对称阵
见到第三种方法，求$\alpha\beta^T$αβT的特征值了(✪ω✪)

$A^2=\alpha(\beta^T\alpha)\beta^T=aA$A2=α(βTα)βT=aA

$\therefore A^2\xi=aA\xi$∴A2ξ=aAξ

$\lambda^2\xi=a\lambda\xi\Rightarrow \lambda(\lambda-a)\xi=0$λ2ξ=aλξ⇒λ(λ−a)ξ=0
$\therefore 有两种特征值\lambda=0,\lambda=a$∴有两种特征值λ=0,λ=a

然后思路就是$n-1$n−1重根时是$\lambda=0$λ=0,要证明$r(0E-A)=1$r(0E−A)=1，说明有$n-1$n−1个线性无关的解：

$r(0E-A)=r(A)=r(\alpha\beta^T)\leq min(r(\alpha),r(\beta))=1$r(0E−A)=r(A)=r(αβT)≤min(r(α),r(β))=1
而矩阵是非零的$\Rightarrow r(A)\geq 0$⇒r(A)≥0
$\therefore r(0E-A)=1$∴r(0E−A)=1

211【矩阵相似求未知数】

$A=\begin{bmatrix} 2& 0 &0 \\ 0& 0 &1 \\ 0&1 &x \end{bmatrix}与B=\begin{bmatrix} 2&0 &0 \\ 0& y &0 \\ 0&0 &-1 \end{bmatrix}相似,求未知数x,y$A=⎣⎡​200​001​01x​⎦⎤​与B=⎣⎡​200​0y0​00−1​⎦⎤​相似,求未知数x,y

这道题由于$B$B是对角矩阵，因此特征值直接就出来了，$A$A矩阵的位置数也在对角线上，因此阔以用迹的性质来算
用特征值的两个等式就行
$\left\{\begin{matrix} tr(A)=tr(B)\\ \\ |A|=|B| \end{matrix}\right.$⎩⎨⎧​tr(A)=tr(B)∣A∣=∣B∣​

212【矩阵相似求未知数】

$A=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {-1} \\ {0} & {1} & {0} \\ {-2} & {1} & {0}\end{array}\right]与B=\left[\begin{array}{lll}{2} & {3} & {3} \\ {2} & {1} & {0} \\ {a} & {b} & {c}\end{array}\right]相似,求a,b,c$A=⎣⎡​10−2​011​−100​⎦⎤​与B=⎣⎡​22a​31b​30c​⎦⎤​相似,求a,b,c
这道题跟上面的不一样，特征值不能一口气看出来，但是$A$A矩阵是没有未知数的，因此还是相当于特征值是知道的，但是$B$B矩阵中的未知数不仅在对角线上有，在其他地方也有

光用迹只能得到$c=-1$c=−1

然后还有个等式就是行列式相等
$|A|=|B|$∣A∣=∣B∣
$-2=6b-3a+4$−2=6b−3a+4

但是这样还差一个方程鸭T_T

没想当竟然还有方法得到更多的方程：
比如求出了$A$A的三个特征值：$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$λ1​,λ2​,λ3​

那么$\left\{\begin{matrix} |\lambda_1 E-B|=0\\ \\ |\lambda_2 E-B|=0 \\ \\ |\lambda_3 E-B|=0 \end{matrix}\right.$⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​∣λ1​E−B∣=0∣λ2​E−B∣=0∣λ3​E−B∣=0​

卧槽，这样就多出了很多的方程，妙啊(✪ω✪)

214【证明题】

$A=\left[\begin{array}{ccccc}{1} \\ {} & {2} \\ {} & {} & {\ddots} \\ {} & {} & {} & {n-1} \\ {} & {} & {} & {} & {n}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccccc}{n} & {} & {} & {} & {} \\ {} & {n-1} & {} & {} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {} & {} \\ {} & {} & {} & {2} & {} \\ {} & {} & {} & {} & {1}\end{array}\right],证明:A\sim B$A=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​1​2​⋱​n−1​n​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​,B=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​n​n−1​⋱​2​1​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​,证明:A∼B
当$\lambda_1=1时,\xi_1=[1,0,0,...,0]^T$λ1​=1时,ξ1​=[1,0,0,...,0]T
当$\lambda_2=2时,\xi_2=[0,1,0,...,0]^T$λ2​=2时,ξ2​=[0,1,0,...,0]T
当$\lambda_3=3时,\xi_3=[0,0,1,...,0]^T$λ3​=3时,ξ3​=[0,0,1,...,0]T
$...$...
当$\lambda_n=n时,\xi_n=[0,0,0,...,1]^T$λn​=n时,ξn​=[0,0,0,...,1]T

然后这个就很巧，从$\xi_n开始来乘$ξn​开始来乘
$A\xi_n=\xi_n$Aξn​=ξn​
$A\xi_{n-1}=\xi_{n-1}$Aξn−1​=ξn−1​
$A\xi_{n-2}=\xi_{n-2}$Aξn−2​=ξn−2​
$...$...
$A\xi_1=\xi_1$Aξ1​=ξ1​

$\therefore 令P=[\xi_n,\xi_{n-1},...,\xi_1]$∴令P=[ξn​,ξn−1​,...,ξ1​]
有$AP=[n\xi_n,(n-1)\xi_{n-1},...,\xi_1]=PB$AP=[nξn​,(n−1)ξn−1​,...,ξ1​]=PB
因此相似，感觉好巧啊

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来源： https://blog.csdn.net/SwustLpf/article/details/100712160