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[CQOI2009]叶子的染色【性质+树形Dp】

作者:互联网

Online JudgeBzoj1304Luogu P3155

Label:无根树,树形Dp

题目描述

给定一棵\(N\)个节点的无根树,它一共有\(K\)个叶子节点。你可以选择一个度数大于1的节点作为根,并对整棵树进行染色(对于每个节点可以染黑/白,或选择不染),着色方案需满足以下约束:

1.每个叶子节点到树根的路径上都至少存在1个有色节点; 2.对于编号为\(i\)的叶子节点,给定一个\(c[i]\),表示从叶子节点到树根路径上第一个遇到的有色节点的颜色(0:黑,1:白)

\(M<=10000\) \(N<=5021\)

输入

第一行包含两个正整数\(N,K\)。

结点编号为\(1,2,…,N\),其中编号\(1,2,… ,K\)是叶子。

以下\(K\)行每行一个0或1的整数(0表示黑色,1表示白色),依次为c[1],c[2],…,c[n]。

以下\(m-1\)行每行两个整数a,b(1<=a < b <= m),表示结点a和b 有边相连。

输出

仅一个数,即着色结点数的最小值。

样例

Input

5 3
0
1
0
1 4
2 5
4 5
3 5

Output

2

题解

唯一的难度在于是棵无根树

part1

如果是棵有根树怎么做。

[1]状态定义

定义状态\(f[x][0/1]\)表示节点\(x\)染为黑/白,以其为根的子树所需的最小染色数。

为什么第二维不再弄个\(2\)表示不染色时的状态呢(当然这样也可以做,但没必要),在之后的转移中我们有一个"删除儿子颜色"的操作,也就是说先染上色,到时候再根据最优性考虑删除颜色。

[2]初始化、终态

一开始所有节点,不论选黑选白都至少选了一个有色节点,赋值为1;但对于叶子节点,将他所不能第一个遇到的那个颜色赋值为INF,后面转移时就不会用到这个状态了。

初始化 : \(f[x][0/1]=1\),\(f[leaf][!c[leaf]]=INF\)

最后答案为\(ans=max(f[root][0],f[root][1])\)。只用考虑根节点染黑染白的情况。为什么无需考虑根节点不染色的情况呢,因为显然将树根染上颜色比将其某个子孙染上同种颜色会更优。

[3]转移

一遍dfs搞一下整棵树,对于非叶子节点x,其儿子为son。

如果x,son同色,则让x保留颜色,son删除颜色更优(x包含的范围更广)。如果不同色则都保留。两者取较小值传给x。

\(f[x][0]+=min(f[son][0]-1,f[son][1]);\)

\(f[x][1]+=min(f[son][1]-1,f[son][0]);\)

part2

性质:在本题中,根节点的选取对于答案没有影响。

证明:类似换根的想法,设一开始的树根为\(x\),现在要将他的某个儿子\(son\)设为根。

根据上面分析,在\(x\)做根的最优方案中,

1.x与son不会染相同的颜色;

2.x一定会染色。

不妨设那时x染为黑。

A.当son染为白时,换根后两者分别可能会影响的范围根本没有变化,所以颜色都不用改变,答案当然不会变。

B.当son不染色时,原来x可能会影响的范围是整棵树,换根后,只需将x的颜色转给son,x本身不染色即可保证树根可能影响的范围不变,这样只有这两点的颜色交换了,染色总数依然不变。

所以随便挑一个非叶子节点做根就好了。

代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10010;
vector<int>e[N];
int f[N][2],n,k;
void dfs(int x,int fa){
    if(x<=k)return;
    for(int i=0;i<e[x].size();i++){
        int y=e[x][i];if(y==fa)continue;
        dfs(y,x);
        f[x][0]+=min(f[y][0]-1,f[y][1]);
        f[x][1]+=min(f[y][1]-1,f[y][0]);
    }   
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=f[i][1]=1;
    for(int i=1,w;i<=k;i++){
        scanf("%d",&w),f[i][!w]=1e9;
    }
    for(int i=1,u,v;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        e[u].push_back(v);e[v].push_back(u);
    }
    dfs(n,0);
    printf("%d\n",min(f[n][0],f[n][1]));
}

标签:颜色,int,染色,树形,son,叶子,CQOI2009,节点,Dp
来源: https://www.cnblogs.com/Tieechal/p/11522475.html