HGOI 20190830 题解

Problem A 钥匙

有$n$个人和$m$个钥匙在数轴上，人的坐标为$a_i$，钥匙的坐标为$b_i$

而门的坐标为$p$，要让所有人获得一把不同钥匙，并且到达门，最长时间最短是多少。

对于$100\%$的数据满足$10^3 \leq n \leq 10^3 , n \leq k \leq 2\times 10^3$

Solution : 

　　对于部分数据，可以二分答案然后进行二分图匹配，实测可以通过$80\%$的数据。

　　事实上，对上面算法的极限复杂度是$O(n^2 k log_2 10^9)$

　　事实上，我们可以将$nk$中人和钥匙的配对方案求出，直接从后往前贪心。

　　这样子复杂度是$O(n \times k (\ log_2 n + log_2 k))$的。

Problem B 汪哥图

给出$n\times m$的$01$矩阵，保证这个矩阵中任意两个$1$之间最多有一条路径不经过$0$。

给出$Q$组询问，求子矩阵联通块个数。

对于$100\%$的数据满足$2 \times 10^3 \leq n,m \leq 2\times 10^3 , 1 \leq Q \leq 2\times 10^5 $

Solution :

　　我们先假设这个子矩阵中所有的$1$都自成一格连通块，显然，有好多连通块可以合并。

　　由于矩阵中的性质： 任意两个$1$之间最多有一条路径不经过$0$，所以合并的方式一定是从左到右或者从上到下。

　　即如果$a[i][j] $和$a[i+1][j]$都是$1$，那么必然会减少一个连通块，如果$a[i][j]$和$a[i][j+1]$都是$1$，也必然会减少一个连通块。

　　所以，我们定义$f[i][j] = [a[i][j] = 1 ] \times [a[i+1][j] = 1] , g[i][j] =  [ a[i][j] = 1 ] \times   [a[i][j+1] = 1] $

　　对于左上角坐标为$(x_1,y_1)$，右下角坐标为$x_2,y_2$的子矩阵，答案是$ans = \sum\limits_{i=x_1}^{x_2} \sum\limits_{j=y_1} ^ {y_2} a[i][j] -  \sum\limits_{i=x_1}^{x_2 - 1} \sum\limits_{j=y_1} ^ {y_2}  f[i][j] -  \sum\limits_{i=x_1}^{x_2} \sum\limits_{j=y_1} ^ {y_2-1} g[i][j]$

　　显然可以用二维前缀和优化。

　　复杂度是$O(nm + Q)$

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来源： https://www.cnblogs.com/ljc20020730/p/11434655.html