AtCoder Grand Contest 037 学习

A. Dividing a String

题意：把一个字符串拆分成最少数量的子串使得相邻两个子串不相等。

笔记：

考场做法

同字符的连续段一定按照 $1, 2, 1, 2, \ldots$ 的长度分组，如果不能这么分就吃掉下一种数的头一个，这样不会更劣。如果最后一个数不能分组，就把上一组并进上上组。

题解做法

发现 $1+4, 2+3, 3+2, 4+1$ 至多有两个不合法，因此每段长不超过 $4$, 直接 DP.

B. RGB Balls

题意：给一个长度为 $3n$ 的球序列，红绿蓝三色各 $n$ 个。给 $n$ 个人各分三色球各一个，使每个人拿到的球标号极差之和最小，求分法数。

笔记：

考场做法

记一下目前各有多少个 R, G, B, RG, GB, BR, 从左到右扫描，遇到红球时按照 GB>G/B>$\varepsilon$ 的顺序结合，别的类似。方案数即每次选法数之积乘上 $n!$.

题解做法

把三色球的下标分别从小到大排序为 $r_1, r_2, \ldots, r_n$; $g_1, g_2, \ldots, g_n$; $b_1, b_2, \ldots, b_n$. 设 $m_i=\min{r_i, g_i, b_i}$, $M_i=\max{r_i, g_i, b_i}$. 设第 $i$ 个人持球最小标号为 $a_i$, 最大标号为 $c_i$.

一方面，把 $r_i, g_i, b_i$ 给第 $i$ 个人可以得到极差之和 $\sum_{i=1}^n(M_i-m_i)$.

另一方面，不妨设 $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$, 因为有 $k$ 个人持前 $k$ 个红球、绿球、蓝球，所以 $a_k \le m_k$. 因此 $\sum_{i=1}^n a_i \le \sum_{i=1}^n m_i$, 同理可得 $\sum_{i=1}^n c_i \ge \sum_{i=1}^n M_i$, 因此答案不小于 $\sum_{i=1}^n(M_i-m_i)$.

因此答案就是 $\sum_{i=1}^n(M_i-m_i)$. 称 $m_i$ 号球为A类球，$M_i$ 号球为C类球，其余为B类球，那么分球要按照A<B<C的顺序分。从左到右扫描，每次乘上有多少人能接此球即可。

D. Sorting a Grid

题意：给一个 $N \times M$ 网格，每个格子不重复地填有 $1$~$NM$ 的正整数。求一种“先重排每行，然后重排每列，再重排每行”的方案使格子从上到下、从左到右依次有序。

笔记：转化为在两顶点集大小各为 $N$ 的 $M$‐正则二分图中找 $M$ 个不相交的完美匹配。因为正则二分图必有完美匹配，所以每次任找一个完美匹配作为答案，删掉它以后图仍然是一个正则二分图（或者无边）。

E. Reversing and Concatenating

题意：给定字符串 $S$, 可以操作 $k$ 次，每次操作为用 $U=SS^R$ 的一个长度为 $|S|$ 的子串代替 $S$, 求字典序最小的最终串。

笔记：不妨设 $S$ 的最小字母为 a, 其出现次数为 $L$, 那么 $U$ 的最长连续 a 出现次数必然每次都能翻倍，除非翻倍后大于 $N$. 设第一次最长连续 a 出现次数为 $L$, 若 $2^{K-1}L>N$, 答案是 $N$ 个 a. 否则，除了最后一步外，我们每次都要在末尾暴露出最长连续 a, 最后一步则是在开头。

考场做法

每次取 $U$ 最小子串，如果不是最后一次，就把取出的串取反接着做。

题解做法

枚举第一次选谁，后续的最优决策是确定的，直接算。

F. Counting of Subarrays

题意：给定序列。连续至少 $L$ 个 $k$ 可以合成一个 $k+1$. 求原序列有多少个连续子序列可以合成一个数。

笔记：还没过，留坑。

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