【bzoj 4318】OSU!

 题意

　　一个长度为 $n$ 的字符串，第 $i$ 位有 $p_i$ 的概率是 $1$，否则是 $0$。一个字符串的分数定义为：对于字符串中每一个极长的连续一段 $1$，设这段 $1$ 的长度为 $x$，分数累加 $x^3$。

　　求字符串的期望分数。

 题解

　　考虑分数累加 $x^3$ 而不是 $x$ 时怎么做。

　　设 $f_{i,j}$ 表示分数累加 $x$ 的 $j$ 次方时，第 $1$ 到 $i$ 位的期望分数。

　　则 $f_{i,1}$ 的转移显然为 $f_{i,1} = (1-p_i)\times f_{i-1,1} + p_i\times (f_{i-1,1}+1)$。

　　就是分两种情况：放 $0$，结束前面连续的一段 $1$（前面连续的一段 $1$ 的长度可能是 $0$）；放 $1$，延长前面连续的一段 $1$（前面可能是 $0$，那就是新起一段 $1$）。

　　我们在转移 $f_{i,3}$ 时再考虑断的情况，所以把放 $1$ 的转移提出来，设 $x_{i,1}=p_i\times (f_{i-1,1}+1)$。

　　然后考虑 $f_{i,2}$，我们发现 $f_{i,2} = f_{i,2}\times (1-p_i) + (f_{i,2}+?)\times p_i$

　　$?$ 就是成功连接所增加的分数，这里显然不是 $1$，但我们可以考虑用 $x$ 和常数表示它。

　　我们发现 $(t+1)^2=t^2+2t+1$，所以

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