求最大的正整数n使满足n^2+2000n是完全平方数

将这一类题目汇集在一起  

题目：求最大的正整数n使满足n^2+2000n是完全平方数？

 设Ａ=1000 n^2+2An是完全平方数，求正整数n的值？ 解： 设平方数为m，则有：n^2+2An=m^2  （在本题目中A=1000） n^2+2An+A^2-A^2=m^2 (n+A)^2 - A^2 = m^2 (n+A)^2 - m^2 = A^2 [(n+A)+m] [(n+A)-m] = A^2 设： (n+A)+m = C    式子1 (n+A)-m = D    式子2 C * D = A^2 式子1 + 式子2 等于： 2(n + A) = C + D 求得： n = (C + D)/2 - A 如果想要n最大，必须  (C + D)/2 最大。C和D是A^2的两个因数。   【注释：如果想要n最大，必须  (C + D)/2 最大， 则C = A^2 ， D = 1 当没有约束条件时，C和D还有可能的取值有，如果下列的除法是可以整除的：（A^2/2 ,2） （A^2/3 ,3）（A^2/4 ,4）（A^2/5 ,5）（A^2/6 ,6）......需要按照具体题目内容，求得需要的答案(只讨论正整数)】   在本题中 A = 1000，C * D = 1000*1000, C和D的可能值为(1000*1000 , 1) ,(1000*1000/2 , 2) ,(1000*1000/4 , 4) ,(1000*1000/5 , 5) ,(1000*1000/8 , 8) ,(1000*1000/10 ,10) ...... 只有当 D = 2 ， C = (1000 * 1000)/ 2 时，为正整数 ,并且(C + D)/2 次最大：  [ (1000 * 1000)/ 2 + 2 ] /2 。 故 n = [ (1000 * 1000)/ 2 + 2 ] /2 -1000 = 500^2 + 1 - 1000  解得当 n= 249001 时，n是最大的正整数，使的 n^2+2000n 是完全平方数  

题目：求使n^2+1997n是一个完全平方数的最大正整数n的值

设：A是个质数。（本题中A=1997）

求使n^2+An是一个完全平方数的最大正整数n的值

解：

n^2+An=m^2

4n^2+2(2n)A=4m^2

(2n)^2 +2(2n)A + A^2 = (2m)^2 + A^2

(2n+A)^2 - (2m)^2 = A^2

[(2n+A) + 2m] [ (2n+A) - 2m] = A^2

设：C=[(2n+A) + 2m] , D= [ (2n+A) - 2m]

C * D = A^2

C +Ｄ=[(2n+A) + 2m]　+　 [ (2n+A) - 2m] 　=　２（２ｎ＋Ａ）

ｎ　=［（Ｃ+Ｄ）／２－Ａ］／２

当C = A^2 & D = 1 时，（Ｃ+Ｄ）最大为 1+A^2。

本题中　Ａ=１９９７　＆　Ｃ+Ｄ= 1997*1997 +1

ｎ　=［（Ｃ+Ｄ）／２－Ａ］／２

n= ［（1997*1997 +1）／２－1997］／２ =  = ［（3988009 +1）／２－1997］／２［（3988010）／２－1997］／２=  (1994005－1997)／２  = 1992008／２ =996004

n=996004时，是使n^2+1997n是一个完全平方数的最大正整数n的值

 

习题：已知n²+15n+26是一个完全平方数，求n的值？ 

解：

n²+15n+26 =(n+13)(n+2) 

设：

n+13=a^2

n+2=b^2

两式子相减：

a^2-b^2 = 11

(a+b)(a-b) = 11*1 a+b = 11 a-b = 1 a=6 n+13=6*6 n=23

标签：平方,正整数,1997,2000n,2m,2n,1000
来源： https://www.cnblogs.com/johnphan/p/11277386.html