生日礼物

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给出长度为n的序列\(\{a_i\}\),请从中选出不超过m段，最大化每段的和的和，其中\(1≤n,m≤10^5,|a_i|≤10^4\)。

解

法一:递推

这是一道区间划分的问题，容易想到设一个方程\(f[i][j]\)表示前i数字，选出j段的最大的每段的和的和，容易有

\(f[i][j]=\max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]+a_i)\)

但是无法优化，于是萎了，参考代码就不给出了。

法二:贪心

首先可以简化问题，也就是把同符号的相邻的一段合并成一个数字，不妨记进行这个操作以后的序列为\(\{b_i\}\),长度为l，注意到它的一个性质，正负是交错的。

此时如果正数少于m，这道题目就做完了，接下来对大于m来考虑

然后根据最优性贪心，我们的选择一个极值来考虑问题，这个极值也就是绝对值的最小值，不妨设选出来的数为\(b_i\)，我们可以得到以下结论

• 该数字在边界，也就是\(i=1\ or\ i=l\)

1. \(a_i<0\),此时显然不会有人没事去选一个负数，于是可以将它从序列中删去，删去这个操作可以利用链表来实现

2. \(a_i>0\)，此时该数为正数中最小的数字，因为其绝对值最小，不可能单独选它，因为换成别的数字，会使结果更加优秀，如果需要将其与其他的正数合并成一段的话，又必须要选中间的负数，然而显然这个负数加上\(a_i\)绝对是小于0，于是答案中不这样操作，会让结果更加优秀。

于是我们可以得到结论,如果\(a_i\)在边界，我们应该删去它。

• 该数字在中间

1. \(a_i<0\) 此时容易知道，它的绝对值必然是最小的，显然不会单独去选它，而是通过它合并相邻的两个正数，如果单独选两边的正数，显然可以选择的段数会减2，而选了两边的正数再加上这一个负数，可以选择的段数会减1,而此时再随便选择一段序列中的一个正数，必然与这个负数的和都是大于等于0的，因此容易知道后者的决策绝对不会比前者差劲。

2. \(a_i>0\),此时容易知道它是最小的正数，单独选择它，换成别的正数结果会更加优秀，你也不会没事单独选择两边的负数，于是只能将两边的负数与之合并。

因此根据以上，我们可以得到，如果是一个绝对值最小的在中间的数字，我们就将两边的数字与之合并，然后正数的段数显然减少了1,而如果在边界，直接删去，如果删去的是正数，那么正数的段数减少了１，最终合并到正数的段数少于m，此时就可以直接选择，寻找绝对值最小利用优先队列，合并和删去利用链表，顺便优先队列中记录这个元素在链表中对应的位置，这和原问题是等价的，是一个特别难的合并性贪心，最终时间复杂度\(O(nlog(n))\)。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
#define Size 101000
#define intmax 0x7fffffff
using namespace std;
template<class free>
struct heap{
    free a[Size];int n;
    il void push(free x){
        a[++n]=x;ri int p(n);
        while(p>1)
            if(a[p]<a[p>>1])
                swap(a[p],a[p>>1]),
                    p>>=1;
            else break;
    }
    il void pop(){
        a[1]=a[n--];ri int p(1),s(2);
        while(s<=n){
            if(s<n&&a[s+1]<a[s])++s;
            if(a[s]<a[p])
                swap(a[s],a[p]),
                    p=s,s<<=1;
            else break;
        }
    }
};
template<class free>
struct list{
    struct iter{
        iter*pre,*next;free v;
    }*head,*tail,*lt;
    il void initialize(){
        head=new iter(),tail=new iter();
        head->next=tail,tail->pre=head;
    }
    il void insert(iter *p,free v){
        lt=new iter{p->pre,p,v};
        p->pre->next=lt,p->pre=lt;
    }
    il void erase(iter *p){
        p->next->pre=p->pre;
        p->pre->next=p->next;
        p->v=intmax;
    }
};
struct hl{
    int d;list<int>::iter *p;
    il bool operator<(const hl&x)const{
        return abs(d)<abs(x.d);
    }
};
heap<hl>H;
list<int>L;
list<int>::iter *p;
int a[Size];
il void read(int&);
int main(){L.initialize();
    int n,m,cnt(0),ans(0);read(n),read(m);
    L.insert(L.tail,0),p=L.tail->pre;
    for(int i(1),a;i<=n;++i){
        read(a);if((ll)p->v*a>=0)p->v+=a;
        else{
            if(p->v>0)++cnt;
            L.insert(p->next,a);
            H.push({p->v,p});
            p=p->next;
        }
    }if(p->v>0)++cnt;H.push({p->v,p});
    while(cnt>m){
        while(p=H.a[1].p,p->v==intmax)H.pop();
        if(p->pre==L.head||p->next==L.tail){
            if(H.a[1].d>0)--cnt;
            H.pop(),L.erase(p);continue;
        }--cnt;
        p->v+=p->pre->v+p->next->v;
        L.erase(p->pre),L.erase(p->next);
        H.pop(),H.push({p->v,p});
    }for(int i(1);i<=H.n;++i)
        if(H.a[i].p->v!=intmax&&H.a[i].d>0)
            ans+=H.a[i].d;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}
il void read(int &x){
    x^=x;ri char c;while(c=getchar(),c==' '||c=='\n'||c=='\r');
    ri bool check(false);if(c=='-')check|=true,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    if(check)x=-x;
}

标签：pre,int,iter,next,生日礼物,il,正数
来源： https://www.cnblogs.com/a1b3c7d9/p/11257844.html