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Programming Pearls笔记之三

 

Programming Pearls笔记之三

　　这里是编程珠玑（Programming Pearls）第三部分（后五个专栏）的笔记．

1 Partition

　　快速排序最关键的一步是Ｐａｒｔｉｔｉｏｎ，将一个元素放在正确的位置，它前面的元素都小于它，它后面的元素都不小于它．

1.1 Ｎｉｃｏ　Ｌｏｍｕｔｏ的方法

　　对于一个值ｔ，将数组分成两部分，一部分小于ｔ，一部分大于等于ｔ．如图：

图一

　　相应算法为：

m = a-1
for i = [a, b]
    if x[i] < t
        swap(++m, i)

　　将ｘ［ｌ］作为数值ｔ，如下图：

图二

　　这时的ａ即ｌ＋１．ｂ即ｕ．算法终结时的状态是：

图三

　　最后还要交换ｘ［ｌ］和ｘ［ｍ］，状态为：

图四

1.2 一些改进

　　Ｌｏｍｕｔｏ的方法有一点问题，就是当重复元素较多时效率会较差．对于ｎ个元素全部相同的极端情况，时间复杂度变为Ｏ（ｎ）．下面的方案会较好：

图五

　　这时算法是：

t = x[l]; i = l; j = u+1
loop
    do i++ while i <=u && x[i] < t
    do j-- while x[j] > t
    if i > j
      break
    swap(i, j)
swap(l, j)

　　当所有元素都相等时．这个算法会交换相等的元素，这是不必要的．但它会将数组从正中间分成两部分，所以时间复杂度是Ｏ（ｎ　ｌｏｇ　ｎ）．这也是严、吴版《数据结构》课本上给出的算法．

　　另外为了取得较好的平均时间复杂度，可以引用随机数：ｓｗａｐ（ｌ，ｒａｎｄｉｎｔ（ｌ，ｕ））．即随机将数组中的一个元素跟ｘ［ｌ］，用它作为ｔ．

　　还有就是当ｕ－ｌ较小时，快速排序效率并不好，这时可以设置一个临界值，当ｕ－ｌ小于这个值时不再进行Ｐａｒｔｉｔｉｏｎ操作而是直接返回，这样最终结果虽然不是有序的，但却是大致有序的，这时可以再用插入排序处理一遍．

2 Ｒ．Ｓｅｄｇｅｗｉｃｋ的优化

• 问题

  通过让ｘ［ｌ］作为哨兵元素，去掉Ｌｏｍｕｔｏ的算法中循环后面的那个ｓｗａｐ语句．

  　　可以说这个改进没什么用处，因为只是少了一个交换语句，但这个问题很有意思．

• 解答

  　　Ｂｏｂ　Ｓｅｄｇｅｗｉｃｋ发现可以修改Ｌｍｕｔｏ的方案，从右往左处理数组元素，这样ｘ［ｌ］就可以作为一个哨兵元素，数组状态如下：

  

  图六

  　　算法伪代码是：

  m = u+1
  for (i = u; i >= l; i--)
      if x[i] >= t
          swap(--m, i)
  

  　　当算法处理完后ｘ［ｍ］＝ｔ，因此也就不用再交换了．利用这个方案Ｓｅｄｇｅｗｉｃｋ还可以省掉循环中的一个判断语句：

  m = i = u+1
  do 
      while x[--i] < t
          ;
      swap(--m, i)
   while i != l
  

3 第ｋ小元素

• 问题

  查找数组ｘ［０．．ｎ－１］中第ｋ小元素，要求时间复杂度为Ｏ（ｎ），允许改变数组中元素顺序．

• 解答

  　　这个很简单，只是对Ｐａｒｔｉｔｉｏｎ稍作修改．Ｃ．Ａ．Ｒ．Ｈｏａｒｅ的算法：

  void select1(l, u, k)
          pre l <= k <= u
          post x[l..k-1] <= x[k] <= x[k+1..u]
      if l >= u
          return
      swap(l, randint(l, u))
      t = x[l]; i = l; j = u+1
      loop
          do i++; while i <= u && x[i] < t
          do j--; while x[j] >t
          if i > j
              break
          temp = x[i]; x[i] = x[j]; x[j] = temp
      swap(l, j)
      if j < k
          select1(j+1, u, k)
      else if j > k
          select1(l, j-1, k)
  

4 抽样问题

从０．．ｎ－１中等概率随机选取ｍ（ｍ＜ｎ）个并升序输出，要求不能有重复数值．

4.1 Ｋｎｕｔｈ的方法Ｓ

select = m
remaining = n
for i = [0, n)
    if (bigrand() % remaining) < select
        print i
        select--
    remaining--   

　　其中的ｂｉｇｒａｎｄ（）是产生一个随机整数．

　　巧妙之处是直接升序考查，输出，不用再排序了．

4.2 Ｋｎｕｔｈ的方法Ｐ

　　先将数组随机打乱，然后将前ｍ个排序．

for i = [0, n)
    swap(i, randint(i, n-1))
sort(x, x+m)
for i = [0, m)
    printf x[i]

　　Ａｓｈｌｅｙ　Ｓｈｅｐｈｅｒｄ和Ａｌｅｘ　Ｗｏｒｏｎｏｗ发现只要对前ｍ个进行打乱操作就行了：

void genshuf(int m, int n)
{
  int i, j;
  int *x = new int[n];
  for (i = 0; i < n; i++)
    x[i] = i;
  for (i = 0; i < m; i++) {
    j = randint(i, n-1);
    int t = x[i]; x[i] = x[j]; x[j] = t;
  }
  sort(x, x+m);
  for (i = 0; i < m; i++)
    cout << x[i] <<"\n";
}

4.3 ｍ接近ｎ的情况

• 问题

  　　当ｍ接近ｎ时，容易想到的解法是找出要舍弃的ｎ－ｍ个，然后剩下的就是要选取的．然而此处的问题是：

  当ｍ接近ｎ的时候，基于集合的方法会产生很多重复的随机数值．要求设计一种算法，即使在最坏的情况下也只需要产生ｍ个随机数．

  问题中基于集合的算法如下：

  initialize set S to empty
  size = 0
  while size < m do
      t = bigrand() % n
      if t is not in S
          insert t into S
          size++
  print the elements of S in sorted orrder
  

• 解答

  　　下面是Ｂｏｂ Ｆｌｏｙｄ的算法：

  void genfloyd(int m, int n)
  {
       set<int S;
       set<int>::iterator i;
       for (int j = n-m; j < n; j++) {
            int t = bigrand() % (j+1);
            if (S.find(t) == S.end())
                 S.insert(t); // t not in S
            else
                 S.insert(j); // t in S
       }
       for (i = S.begin(); i != S.end(); ++i)
            cout << *i <<"\n";
  }
  
  

4.4 ｎ未知时的情况

• 问题

  读取一篇文章，等概率地随机输出其中的一行．

  　　这里ｎ在读完文章之前未知，ｍ＝１．

• 解答

  　　可以先选中第一行，当读入第二行时，再以１／２的概率选中第二行，读入第三行时再以１／３的概率选中第三行．．．最后输出选中行．

  i = 0
  while more input lines
      with probability 1.0/++i
          choice = this input line
  print choice
  

  　　这个算法可以用数学归纳法作下不太正式的证明：选中每一行的概率都是１／ｎ．

  1. 当ｎ＝１时，以１００％的概率选中第一行，满足要求．
  2. 假设当ｎ＝ｋ时，满足要求．则当输入第ｋ＋１行时，选中第ｋ＋１行的概率为１／（ｋ＋１）．这一事件对于前ｋ行的影响是相同的，又因为原来（读入第ｋ＋１行之前）选中前ｋ行中任一行的概率是相同的，所以读入第ｋ＋１行之后选中前ｋ行中任一行的概率也是相同的．这时选中前ｋ行的概率是１－１／（ｋ＋１）．故选中前ｋ行任一行的概率也是１／（ｋ＋１）．所以当ｎ＝ｋ＋１时，也符合要求．
  3. 综上，算法满足要求．

• 笔记

  　　上面的问题是ｍ＝１时的情况，当ｍ＞１时，可以先确定前ｍ行为已经选中，然后对于后面的第ｉ行（ｍ＜ｉ＜ｎ）以ｍ／ｉ的概率选中它，并随机替换掉已经选中的ｍ行中的一行，这时要产生两个随机数，一个用来确定是否选中该行，一个用来确定换掉ｍ行中的哪一行，可以将这两步操作合并成一步，只用求一个随机数，算法如下：¹

  i = 0
  while more input lines
      if i < m
          x[i++] = this input line
      else
          t = bigrand() % (++i)
          if t < m
              x[t] = this input line
  for i = [0, m)
      printf x[i]
  

  　　算法中的行数ｉ是从０开始的，这样利用ｂｉｇｒａｎｄ（）求出的ｔ，就不用再加１了．根据上面的算法也可以得出ｍ接近ｎ的情况的另外一个较好的解，因此ｍ比较接近ｎ，因此ｎ－ｍ较小，此时只用产生比较少的ｎ－ｍ个随机数即可：

  for i = [0, m)
      x[i] = i
  for i = [m, n)
      t = bigrand() % (i+1)
      if (t < m)
          x[t] = i
  for i = [0, m)
  print x[i]
  

5 最长重复子串

• 问题

  求出在一个字符串中重复出现的子串，比如对于字符串＂ｂａｎａｎａ＂，字符串＂ａｎａ＂是最长重复子串，因为出现了两次：ｂ ａｎａ ｎａ和ｂａｎ ａｎａ ．

• 解答

  　　仍以字符串＂ｂａｎａｎａ＂为例．可以先建一个指针数组ａ，ａ［０］指向整个字符串，ａ［１］指向以ａ开头的后缀，ａ［２］指向以ｎ开头的后缀：

  1. 　ａ［０］：　ｂａｎａｎａ
  2. 　ａ［１］：　ａｎａｎａ
  3. 　ａ［２］：　ｎａｎａ
  4. 　ａ［３］：　ａｎａ
  5. 　ａ［４］：　ｎａ
  6. 　ａ［５］：　ａ

  　　然后对这个指针数组调用ｑｓｏｒｔ（）进行排序就行了．比较函数是对元素指向的字符串的大小进行比较．在本例中，结果为：

  1. 　ａ［０］：　ａ
  2. 　ａ［１］：　ａｎａ
  3. 　ａ［２］：　ａｎａｎａ
  4. 　ａ［３］：　ｂａｎａｎａ
  5. 　ａ［４］：　ｎａ
  6. 　ａ［５］：　ｎａｎａ

　　最后只要比较排序后相信的子串，就可以得出最长重复子串，即＂ａｂａ＂．

Footnotes:

¹ 这个问题书中没有提到，我也没有遇到过这个问题，估计Ｋｎｕｔｈ的半数值算法中会有．这个算法是我想的，如有错误，请指出．

Date: 2012-07-28 六

Author: Hu Wenbiao

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