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# 国王游戏(贪心+大数乘除+微扰法证明)

作者:互联网

国王游戏(贪心+大数乘除+微扰法证明)

证明: 微扰法的使用

我们现在将任意两个人的位置互换,然后考虑他们在交换前和交换后所获得的奖励是多少,其他人的奖励不变:

交换前:
第 \(i\) 个人是 : \(A_0 * A_1*....*A_{i-1}/B_i\)
第 \(i+1\) 个人是 : \(A_0 * A_1*....*A_{i}/B_{i+1}\)

交换后:
第 \(i\) 个人是 : \(A_0 * A_1*....*A_{i-1}/B_{i+1}\)
第 \(i+1\) 个人是 : \(A_0 * A_1*....*A_{i-1}*A_{i+1}/B_i\)

只需要比较交换前后这两个人中最大值的变化,提取公因式之后就是比较\(max(B_{i+1},A_i*B_i)\)和\(max(B_i,A_{i+1}*B_{i+1})\)

由于大臣手中都是正数,所以\[B_{i+1}<B_{i+1}*A_{i+1}\] \[A_{i}*B_{i}>B_i\]于是,当\(A_i*B_i <= A_{i+1}*B_{i+1}\),左式小于右式,交换前更优,反之交换后更优,也就是说在任何局面下,减少逆序对都不会使整体结果变差,增加逆序对会使整体结果变差。根据冒泡排序思想,从小到大排好序的序列就是最优解。

时间复杂度
排序的时间复杂度是 \(O{nlogn}\)。
这道题目的时间复杂度瓶颈在高精度计算上,最坏情况下所有 \(A_i=9999\),则前i个数的乘积大约是4i位,每次乘一个新的数就需要 4i 的计算量,所以总共的计算量是 \(4*\sum_{n=1}^i{i}=O{n2}\)

AC code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//宏定义,编译时展开,占用编译时间
#define fre freopen("C:\\Users\\22765\\Desktop\\in.txt","r",stdin);
#define mem(a) memset((a),0,sizeof(a))
#define re(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<(b);(i)++)
#define sf(x) scanf("%d",&(x))
typedef long long LL;
const int inf=(0x7f7f7f7f);
const int maxn=1004;
typedef pair<int,int> pii;
int n;
pii p[maxn];
vector<int> ans,MAX,anst;
vector<int> bmul(int a){
    vector<int> c;
    int t=0;
    for(int i=0;i<ans.size();i++){
        t+=(ans[i]*a);
        c.push_back(t%10);
        t/=10;
    }
    while(t){
        c.push_back(t%10);
        t/=10;
    }

    return c;
}

vector<int> bdiv(int a){
    vector<int> c;
    int t=0;
    bool is_first=1;
    for(int i=ans.size()-1;i>=0;i--){
        t=t*10+ans[i];
     
        int x=t/a;
        //注意这里判断,除法过程中,首部的0无效,中间的0是有效数字
        //000123045 ,000是无效数字,304中间的0是有效数字 
        if(!is_first||x){
            is_first=0;
            c.push_back(x);
        }
        t%=a;
        
    }
    if(c.empty())c.push_back(0);
    reverse(c.begin(),c.end()) ;
    return c;
}
bool judge(){//ans>MAX?
    if(anst.size()>MAX.size())return true;
    if(anst.size()<MAX.size())return false;
    for(int i=anst.size()-1;i>=0;i--){
        if(anst[i]>MAX[i])return true;
        if(anst[i]<MAX[i])return false;
    }
    return false;//==
}
int main(){

    sf(n);
    int a,b;
    re(i,0,n+1){
        sf(a);sf(b);
        p[i]=make_pair(a*b,a);
    }
    
    sort(p+1,p+n+1);
    a=p[0].second;
    while(a){
        ans.push_back(a%10);
        a/=10; 
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){

        anst=bdiv(p[i].first/p[i].second);

        ans=bmul(p[i].second);

        if(judge()){
            MAX=anst;
        }
    }

    for(int i=MAX.size()-1;i>=0;i--)printf("%d",MAX[i]);
    return 0;
}

标签:return,int,MAX,anst,乘除,vector,微扰,size,贪心
来源: https://www.cnblogs.com/sstealer/p/11209320.html