共轭矩阵

2019-06-24 22:53:50 作者：互联网

共轭方程的导出是建立资料同化模型的关键,其导出方式有两种途径:AFD形式与FDA形式.在特征线计算格式基础上针对一类较广泛海洋动力控制方程分析了其两种共轭方程(AFD形式与FDA形式)之间的关系,并将理论结果应用于波谱共轭方程的讨论.

共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线．
共轭双曲线有共同的渐近线；
共轭双曲线的四个焦点共圆．
例过双曲线的一个顶点的切线交共轭双曲线于两点，求证：过交点所作共轭双曲线的两切线必通过原双曲线的另一顶点．
点A′．
方程：x2/a2-y2/b2=1与y2/b2-x2/a2=1互为共轭双曲线
双曲线与椭圆有哪些不同？
（1）定义不同，图形不同。
（2）有两类特殊的双曲线，它们有一些特殊的性质。
一类是等轴双曲线。其主要性质有：a=b，离心率为根号2，两条渐近线互相垂直，等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
另一类是共轭双曲线，其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。
等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形。有两支曲线：而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支曲线。等轴双曲线也有它的共轭双曲线。

共轭矩阵
又称Hermite阵。Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是 ai,j=a*j,i。
对于
<math>A = \{ a_{i,j} \} \in C^{n \times n} </math>
有：
<math>a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}</math>，其中<math>\overline{(\cdot)}</math>为共轭算符。
记做：
<math> A = A^H \quad </math>
例如：
<math>\begin
3&2+i\\ 2-i&1 \end</math>
就是一个Hermite阵。
显然，Hermite阵主对角线上的元素必须是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是Hermite阵。也就是说，实对称阵是Hermite阵的特例。

性质
若A 和B 是Hermite阵，那么它们的和A+B 也是Hermite阵；而只有在A 和B满足交换性（即AB = BA）时，它们的积才是Hermite阵。
可逆的Hermite阵A 的逆矩阵A-1仍然是Hermite阵。
如果A是Hermite阵，对于正整数n，An是Hermite阵.
方阵C 与其共轭转置的和<math>C + C^*</math>是Hermite阵.
方阵C 与其共轭转置的差<math>C - C^*</math>是skew-Hermite阵。
任意方阵C 都可以用一个Hermite阵A 与一个skew-Hermite阵B的和表示:
<math>C = A+B \quad\mbox\quad A = \frac(C + C^*) \quad\mbox\quad B = \frac(C - C^*).</math>
Hermite阵是正规阵，因此Hermite阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着Hermite阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基。
n阶Hermite方阵的元素构成维数为n2的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。
如果Hermite阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定阵。

Hermite序列
Hermite序列（抑或Hermite向量）指满足下列条件的序列ak（其中k = 0, 1, …, n）：
<math> \Im(a_0) = 0 \quad \mbox \quad a_k = \overline{a_} \quad \mbox k=1,2,\dots,n. </math>
若n 是偶数，则an/2是实数。
实数序列的离散傅里叶变换是Hermite序列。反之，一个Hermite序列的逆离散傅里叶变换是实序列。

对称矩阵的根据定义判定。A'=A
正定矩阵的判定方法有多种，常用的有：
1。各介顺序主子式均大于零
2。所有的秩都大于0.
共轭矩阵的判定根据定义。

如何判定一个矩阵半正定？
1、对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：
2、半正定矩阵
定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX≥0，就称A为半正定矩阵。
2.4. A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于或等于零。

M的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式：
• M左上角1× 1的矩阵
• M左上角2× 2矩阵
• ...
• M自身。
对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：

半正定矩阵
定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX≥0，就称A为半正定矩阵。
2.1． A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：A的正惯性指数等于A的秩。
2.2． A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵T，使TTAT=（）。
2.3. A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：存在n阶实矩阵S，使A=STS。
2.4. A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于或等于零。
2.5. 若A∈Mn（K）是半正定矩阵，则A*也是半正定矩阵。

对A的特征值全为正数，那么是正定的。
不正定，那么就非正定或半正定。若A的特征值大于等于，则半正定。否则非正定。就这么简单。其他的你可以根据特征根的相关知识推到。。

正定矩阵是对对称矩阵而言,不是对称矩阵,无所谓正定不正定

凡是二次型所对应的矩阵都是对称矩阵

如何构造对称正定矩阵
如果对角阵过于特殊，
可取一个行列式不为0的矩阵A，
则它的转置与它本身乘积即为正定(相合于单位阵)。
该可逆阵的取法可以随机生成（多数可逆）
或者参考任何一本线代书例题中中求得行列式通式的特殊矩阵如三对角/范德蒙等等。

还可以生成一个可逆对称矩阵后，加上一个单位矩阵与一个很大的数乘积

共轭矩阵
共轭矩阵又称Hermite阵。Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是 ai,j=a*j,i。
对于
<math>A = \{ a_{i,j} \} \in C^{n \times n} </math>
有：
<math>a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}</math>，其中<math>\overline{(\cdot)}</math>为共轭算符。
记做：
<math> A = A^H \quad </math>
例如：
<math>\begin{bmatrix}
3&2+i\\ 2-i&1 \end{bmatrix}</math>
就是一个Hermite阵。
显然，Hermite阵主对角线上的元素必须是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是Hermite阵。也就是说，实对称阵是Hermite阵的特例。

性质
若A 和B 是Hermite阵，那么它们的和A+B 也是Hermite阵；而只有在A 和B满足交换性（即AB = BA）时，它们的积才是Hermite阵。
可逆的Hermite阵A 的逆矩阵A-1仍然是Hermite阵。
如果A是Hermite阵，对于正整数n，An是Hermite阵.
方阵C 与其共轭转置的和<math>C + C^*</math>是Hermite阵.
方阵C 与其共轭转置的差<math>C - C^*</math>是skew-Hermite阵。
任意方阵C 都可以用一个Hermite阵A 与一个skew-Hermite阵B的和表示:
<math>C = A+B \quad\mbox{with}\quad A = \frac{1}{2}(C + C^*) \quad\mbox{and}\quad B = \frac{1}{2}(C - C^*).</math>
Hermite阵是正规阵，因此Hermite阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着Hermite阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基。
n阶Hermite方阵的元素构成维数为n2的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。
如果Hermite阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定阵。

Hermite序列
Hermite序列（抑或Hermite向量）指满足下列条件的序列ak（其中k = 0, 1, …, n）：
<math> \Im(a_0) = 0 \quad \mbox{and} \quad a_k = \overline{a_{n-k}} \quad \mbox{for } k=1,2,\dots,n. </math>
若n 是偶数，则an/2是实数。
实数序列的离散傅里叶变换是Hermite序列。反之，一个Hermite序列的逆离散傅里叶变换是实序列。

共轭转置矩阵
又称Hermite阵。Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是 ai,j=a*j,i。
对于
<math>A = \{ a_{i,j} \} \in C^{n \times n} </math>
有：
<math>a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}</math>，其中<math>\overline{(\cdot)}</math>为共轭算符。
记做：
<math> A = A^H \quad </math>
例如：
<math>\begin
3&2+i\\ 2-i&1 \end</math>
就是一个Hermite阵。
显然，Hermite阵主对角线上的元素必须是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是Hermite阵。也就是说，实对称阵是Hermite阵的特例。

共轭转置
矩阵 A 的共轭转置A * 定义为:
其中表示矩阵i行j列上的元素，
表示标量的复共轭。
这一定义也可以写作：
其中是矩阵A的转置，表示对矩阵A中的元素取复共轭。
性质
若矩阵A、B维数相同，则(A + B)* = A* + B*。
(rA)* = r*A*，其中r为复数，r*为r的复共轭。
(AB)* = B*A*，其中A为m行n列的矩阵，B为n行p列矩阵。
(A*)* = A
若A为方阵，则det(A*) = (det A)*，且tr(A*) = (tr A)*
A是可逆矩阵，当且仅当 A*可逆，且有(A*)−1 = (A−1)*.
A*的特征值是A的特征值的复共轭。
<Ax,y> = <x, A*y>，其中A为m行n列的矩阵，复向量x为n维列向量，复向量y为m维列向量，<•,•>为复数的内积。

共轭复数

两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。
根据定义，若z＝a＋bi(a，b∈R)，则 zˊ＝a－bi（a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称（详见附图）。
1.代数特征：
（1）|z|＝|z′|；
（2）z＋z′＝2a（实数），z－z′＝2bi；
（3）z• z′＝|z|^2＝a^2＋b^2（实数）；

2.运算特征：
（1）(z1+z2)′=z1′+z2′
（2） (z1-z2)′=z1′-z2′
（3） (z1•z2)′=z1′•z2′
（4） (z1/z2)′=z1′/z2′ (z2≠0)
3 模的运算性质：
① | z1•z2| = |z1|•|z2|
②

③┃| z1|－| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|
| z1－z2| = | z1－z2|，是复平面的两点间距离公式，由此几何意义可以推出复平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线
ps:z′表示复数z的共轭复数

转载于:https://www.cnblogs.com/zhangshufeng/archive/2012/02/22/2363998.html

标签：Hermite,矩阵,正定,quad,共轭,双曲线
来源： https://blog.csdn.net/weixin_34014277/article/details/93532290