一道计数题

一道华东师范大学出的NOI模拟题

一个1-N的排列p，定义\(q_i\)表示满足\(j<i,p_j<p_i\)的最大的j，如果不存在就为0.

现给出q序列，问有多少种可能的排列，答案对998244353取模。

一道挺神仙的题。

尝试手动模拟数据，发现在排列中1对应的q一定是q中最后一个0。例如

p   3 5 1 4 2
q   0 1 0 3 3

为什么？模拟求q的过程。假定我们不从左到右求q，而是根据排列中1-N的顺序求q。假设我们一个一个往序列中添加数字：

1. 1的q一定是0，因为没有比1小的数。
2. 对2而言它前面有一个1（此时4尚未被添加），因此q为3；
3. 对3而言它前面没有数，因此q为0；
4. 对4而言它前面有一个1，q为3；
5. 对5而言它前面有一个3，q为1

上述过程说明了什么？在1后面的q一定非0（因为前面有这个1），因此1对应的q是q中最后一个0。推而广之，以\(p_3=1\)为分界，容易发现\(p_{1\sim 2}\)的q是大于等于0的（废话），而\(p_{4\sim 5}\)的q是大于等于3的，因为前面有一个1。于是我们可以说，在\(p_{4\sim 5}\)中的最小数字对应的q一定是\(q_{4\sim 5}\)中最后一个3，例如数据中的\(p_5=2\)。

于是我们说得再抽象一点，对于排列p及其对应的q，可以推出

1. p中的最小数字\(p_{x}\)（即1），那么\(q_x\)一定是q中最后一个0；
2. \(p_{1\sim x-1}\)中的最小数字\(p_y\)，那么\(q_y\)一定是\(p_{1\sim x-1}\)中最后一个0（因为\(p_y\)前面没有比它小的数）；
3. \(p_{x+1\sim n}\)中的最小数字\(p_z\)，那么\(q_z\)一定是\(p_{x+1\sim n}\)中最后一个\(q_x\)，即\(q_z=q_x\)，因为\(p_{x+1\sim n}\)没有比\(p_z\)小的数，离它最近的是\(p_x\).

这就是一个递归的模型啊。于是可以按照这个模型建一棵树，显然这是一棵二叉树。

我们要求排列的方案数。你发现，每一个排列其实相当于在做这样一件事情：填充这个树的结点。并且按照排列中1-N的顺序填充时，总能够保证，一个结点在被填充时其父节点已被填充。换言之，排列方案数等价于树上填充的方案数。

关于排列方案数还有一种理解。把这棵树当作一个DAG，从父节点向子节点连两条有向边构成的DAG。显然根节点是唯一入度为0的点。那么排列方案数等价于这个DAG的拓扑序方案数。

于是我们来求这个所谓的拓扑方案数。考虑一个类似树形DP的过程。f[u]表示以u为根的子树的拓扑方案数。显然这个子树拓扑序的第一个元素是u，而对于u的左右子节点\(u_l,u_r\)，可以看作是把两个拓扑序列合并的过程。于是
\[ f[u]=f[u_l]\times f[u_r]\times merge(size[u_l],size[u_r]) \]
merge(a,b)表示把两个长度分别为a,b的序列合并的方案数。size表示子树大小。

接下来考虑merge怎么做。容易想到递归的思路。合并\(A[1\sim a],B[1\sim b]\)，可以把A的第一个元素插入到\(B[i]\)的前面，或者\(B[b]\)的后面。然后将剩下的a-1个元素与b-i+1个元素（或者0个元素）合并。
\[ merge(0,0)=merge(0,a)=merge(a,0)=1\\ merge(x,y)=\sum_{i=0}^ymerge(x-1,y-i)=\sum_{i=0}^xmerge(x-i,y-1) \]
打表，就发现这是个组合数
\[ merge(x,y)=C_{x+y}^y=C_{x+y}^x \]
于是做完。答案就是\(f[root]\)。时间复杂度\(O(n\log_2P)\)，其中\(\log_2P\)是求逆元的复杂度

代码当时写了一个，懒得重写了。反正这玩意儿可做就对了（不超过60line）

一道DP题

顺便说一下T1吧

T1推一个DP出来是这样的
\[ -100\leq s_i,t_i\leq 100,1\leq l[i]\leq r[i]<i\\ S[i]=\sum_{j=1}^is_j\\ f[i]=\min_{j=l[i]}^{r[i]}\{f[j]+(S[i]-S[j]-t_j)^2\} \]
于是你发现这玩意儿并不能斜率emmm

可以线段树套凸包

标签：方案,排列,前面,一个,merge,一日游,两道,sim
来源： https://www.cnblogs.com/sshwy/p/11005560.html