OI养老专题02：约瑟夫问题求幸存者

　　如题。人数为n(1<=n<=30000)，共k(1<=k<=30000)组数据，所报的数m恒为2。

　　如果你还不知道什么是约瑟夫问题...——https://www.cnblogs.com/akura/p/10758080.html

　　如果直接暴力枚举，那么时间复杂度就为O(NM)=O(N)，所有数据一共O(KNM)=O(KN)。遇上这道题就爆掉了。

　　那么怎么解决这种大数据的题呢？我们先手玩一把n个人的约瑟夫问题。由于每次对于n取模后的值在[0,n-1]之间，所以我们干脆让所有人的编号减1，也就是：0,1,2,......n-1。并且假设他们也从0~n-1报数。那么第一轮报数之后，出局的人就是：m%n-1。设t_n=m%n，那么去掉了编号为t_n-1的人之后，得到的序列就为：t_n,t_n+1......n-2,n-1,0,1,2......t_n-2(t_n-1出局了，所以没有)，而他们报的数依次为0,1,2......n-1。不难发现，两个序列每个对应的元素相差为t_n。

　　现在我们再手玩一把人数为n-1的约瑟夫问题。第一轮报数后，出局的人就是m%(n-1)-1。类似地，设t_n-1=m%(n-1)，剩下的序列就为：t_n-1,t_n-1+1......n-3,n-2,0,1,2......t_n-1-2，他们报的数依次为0,1,2......n-2。两个序列每个对应的元素相差为t_n-1。那么我们脑补一下递归的过程，最后我们会递归到边界：人数为1的情况。此时的幸存者就是0(编号减了1)。所以我们可以考虑通过人数少的来推出人数多的。设人数为n-1时的幸存者为ans，通过刚才的推导，不难发现当人数为n时幸存者就是(ans+m%n)%n。所以我们可以根据人数为1时幸存者为0递推上去，时间复杂度为O(N)。

　　由于本题有很多组数据，而我们又得出了递推公式，我们可以离线处理，用f(i)表示当人数为i时幸存者的编号，则f(i)=(f(i-1)+m)%n，每次询问时回答即可，时间复杂度为O(N+K)。或者......在线处理也是没问题的，只要加上神奇的倍增。下面再深入介绍一下倍增的做法。

　　不难发现，当n非常大，而m又小得可怜(比如本题)时，ans每次增加m之后对n取模还是等于ans+m，也就是说ans只增加了m。如果还是一次一次地加m的话，后面对n取模的语句始终是用不到的。所以不妨加快这个过程？设ans+m*x<n+x并且ans+m*(x+1)>=n+x+1，也就是说ans最多增加x次之后仍然小于n，即对n取模的语句无用。至于为什么n要加x，是因为往上递推了x次之后，人数也会增加x(注意我们是从人少的情况往上递推！)。分离参数之后得x<(n-ans)/(m-1)，x>=(n-ans)/(m-1)-1，可得x=floor((n-ans)/(m-1))。所以我们每次累加上x*m即可，并把循环的参数i调高x。不过要注意一些细节：

　　1.当ans+m>n时直接上递推式子即可。

　　2.当i+x>=n时就累加不到x次了，只能加n-i+1次。

　　在线倍增的时间复杂度为O( ∑(1,n) ceil( i/ floor( i/m ) ) )≈O( ceil( n²/ floor( n²/m ) ) )，所以，复杂度接近O(M)？那么所有数据一共O(KM)。在线算法的尊严！可惜只在本题这种m=2的情况下可能跑得过离线。

标签：02,m%,OI,......,tn,幸存者,ans,人数,复杂度
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