洛谷 P1045/WUSTOJ 1004：麦森数（高精度+快速幂分治）

题目描述：

1004: 麦森数

形如2P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2P-1不一定也是素数。
到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。
麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
任务：输入P（1000<P<3100000），计算2P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）。

Input一个整数P（1000<P<3100000）。

Output第一行：十进制高精度数2P-1的位数；
第2-11行：十进制高精度数2P-1的最后500位数字（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）；
不必验证2P-1与P是否为素数。

Sample Input
1279
Sample Output
386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

这题数据量庞大，直接暴力解+高精肯定是做不出来了。这里就可以用到快速幂求解，不过有个问题就是如何用高精度做快速幂呢？
首先复习下高精度乘法吧，如下：

    for(i=1;i<=lena;i++){
        x=0;//x是前一位数所得的进位数，每一位数等于当前位所得的结果，加上前一位的进位数和取余
        for(j=1;j<=lenb;j++){//其中lenalenb是所乘数的位数
            c[i+j-1]=a[i]*b[j]+x+c[i+j-1];//错位乘，每一位分别乘；
            x=c[i+j-1]/10;
            c[i+j-1]%=10;
        }
        c[i+lenb]=x;//每一组乘完后可能会进位，向前移i格即可,乘法最多进一位；
    }

通用步骤就如上了。
其次，快速幂，就是通过分治的思想，不断二分。如果当前二分后的指数为偶数，计算时只需计算当前结果的平方；否则分离出一个基数，剩下的指数为偶数，重复上述步骤最终再乘一个基数即可。
如：a(k)=a(k/2)a(k/2);(k为偶数)
a(k)=aa(k/2)*a(k/2);(k为奇数)
至于位数计算，由于只需要输出最后500位，故剩下的不需要具体计算，只需要有如下：
2§=10(lg(2§),10^n代表该数有（int）n+1位.()代表多少次方
的规律即可得出它一共有多少位。

洛谷AC代码（63ms完美过）+wustojAC代码（640ms有点长）如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int p,k;
int a[560],c[1200];
void quickpow(int k)
{
    if(k==0)return;
    quickpow(k/2);
    memset(c,0,sizeof c);
    for(int i=1;i<=505;i++)
        for(int j=1;j<=505;j++)
        {
            if(!(k%2))c[i+j-1]+=a[i]*a[j];//若为偶数，直接算平方
            else c[i+j-1]+=a[i]*a[j]*2;//若为奇数先单独分离出一个2（2*2（p-1）），然后在每一位计算时乘以2即可
        }
    for(int i=1;i<=505;i++)//进位操作
    {
        a[i]=c[i]%10;//当前位为对该位总和取余
        c[i+1]+=c[i]/10;//大于10的话进位给下一项
    }
}
int main(){
    while(~scanf("%d",&p))
    {
        memset(a,0,sizeof a);
        a[1]=1;
        quickpow(p);
        printf("%d\n",(int)(p*(log(2)/log(10))+1));//2^p=10^lg(2^p),10^n代表该数有（int）n+1位
        int tot=1;a[1]--;
        while(a[tot]<0){a[tot+1]--;a[tot]+=10;tot++;}
        for(int i=500;i>=1;i--)
        {
            if((i-1)%50==0)printf("%d\n",a[i]);
            else printf("%d",a[i]);
        }
    }
}

本题讲解也就到这了，没点关注的点点关注哦~

标签：2P,麦森数,int,高精度,素数,P1045,WUSTOJ,include
来源： https://blog.csdn.net/qq_44684599/article/details/89096394