1. 复数

1.1 复数及其运算

基本概念 z = x + i y z = x+iy z=x+iy 其中，实部 x = R e z x=Rez x=Rez、虚部 y = I m z y=Imz y=Imz

1.2 共轭复数

定义 设 z = x + i y z=x+iy z=x+iy是一个复数，称 z ˉ = x − i y ar{z} =x-iy zˉ=x−iy是z的共轭复数

性质 （1）表示实部虚部 x = z + z ˉ 2 y = z − z ˉ 2 i x = frac{z + ar{z}}{2} \ y = frac{z-ar{z}}{2i} x=2z+zˉy=2iz−zˉ （2）运算拆分 两个复数运算后结果的共轭等于两个复数的共轭复数运算后的共轭 z 1 ⋅ z 2 ˉ = z 1 ˉ ⋅ z 2 ˉ ar{z_1 cdot z_2 } = ar{z_1} cdot ar{z_2} z1⋅z2ˉ=z1ˉ⋅z2ˉ （3）分数变换 通过共轭复数乘积性质将复数从分母变为分子 z 1 ⋅ z 1 ˉ = x 2 + y 2 1 z = z ˉ x 2 + y 2 z_1 cdot ar{z_1} = x^2+y^2 \ frac{1}{z} = frac{ar{z}}{x^2+y^2} z1⋅z1ˉ=x2+y2z1=x2+y2zˉ

2. 复数的几种表示

2.1 复数的几何表示

复平面 在复平面上，复数z与点z以及向量z视为同一概念 z = x + i y ⟷ ( x , y ) z = x+iy longleftrightarrow (x,y) z=x+iy⟷(x,y)

复数的模与辐角 （1）向量z的长度r称为复数z的模： ∣ z ∣ = x 2 + y 2 |z| = sqrt{x^2+y^2} ∣z∣=x2+y2 （2）向量z的方向角 θ heta θ称为复数z的辐角 A r g z = θ Argz = heta Argz=θ 主辐角 a r g ∈ ( − π , π ] arg in (-pi,pi] arg∈(−π,π]，与辐角有如下关系： A r g = a r g + ± 2 k π Arg = arg + pm 2kpi Arg=arg+±2kπ

2.1.1 实部虚部与模与辐角相互转换关系[1]

（1）已知实部与虚部，求模长与辐角 z = x + i y ∣ z ∣ = x 2 + y 2 a r g z = a r c t a n ( y x ) z = x+iy \ |z| = sqrt{x^2 + y^2} \ argz = arctan(frac{y}{x}) z=x+iy∣z∣=x2+y2 argz=arctan(xy) 利用上述公式可以求得模长与主辐角，辐角与主辐角的转换与复数所处坐标空间相关 A r g z = { a r g z , q u a d ( 1 , 4 ) a r g z − π , q u a d ( 3 ) a r g z + π , q u a d ( 2 ) Argz = egin{cases} argz , quad(1,4) \ argz - pi , quad(3) \ argz + pi , quad(2) end{cases} Argz=⎩⎪⎨⎪⎧argz ,quad(1,4)argz−π ,quad(3)argz+π ,quad(2) （2）已知模与辐角求实部与虚部 已知模长为r，辐角为 θ heta θ x = r c o s θ , y = r s i n θ x = r cos heta, y = rsin heta x=rcosθ, y=rsinθ

2.2 复数的三角表示

z = r ( c o s θ + i s i n θ ) z = r(cos heta+isin heta) z=r(cosθ+isinθ)

2.3 复数的指数表示

利用欧拉公式 e i θ = c o s θ + i s i n θ e^{i heta} = cos heta+isin heta eiθ=cosθ+isinθ 可得： z = r ⋅ e i θ z = r cdot e^{i heta} z=r⋅eiθ

2.4 复数三种表示间的转换[2]

利用实部虚部与模长与辐角的转化关系进行表示形式的转化

2.5 利用指数表示进行复数的乘除法运算

乘法 设 z 1 = r 1 e i θ 1 , z 2 = r 2 e i θ 2 z_1 = r_1 e^{i heta_1},z_2 = r_2e^{i heta_2} z1=r1eiθ1,z2=r2eiθ2，可得： z 1 ⋅ z 2 = r 1 r 2 e i ( θ 1 + θ 2 ) z_1 cdot z_2 = r_1r_2e^{i( heta_1+ heta_2)} z1⋅z2=r1r2ei(θ1+θ2) 理解：两复数相乘，模等于复数模之积，辐角等于复数辐角之和

除法 设 z 1 = r 1 e i θ 1 , z 2 = r 2 e i θ 2 z_1 = r_1 e^{i heta_1},z_2 = r_2e^{i heta_2} z1=r1eiθ1,z2=r2eiθ2，可得： z 1 z 2 = r 1 r 2 e i ( θ 1 − θ 2 ) frac{z_1}{z_2}= frac{r_1}{r_2}e^{i( heta_1- heta_2)} z2z1=r2r1ei(θ1−θ2) 理解：两复数相除，模等于复数模之商，辐角等于复数辐角之差

2.6 复数的乘幂与方根

乘幂 z n = z ⋅ z ⋯ z z^n = z cdot z cdots z zn=z⋅z⋯z，可得： z n = r n e i n θ = r n ( c o s θ + i s i n θ ) n = r n ( c o s ( n θ ) + s i n ( n θ ) ) z^n = r^ne^{in heta} = r^n(cos heta + isin heta)^n=r^n(cos(n heta)+sin(n heta)) zn=rneinθ=rn(cosθ+isinθ)n=rn(cos(nθ)+sin(nθ))

方根 w = z 1 n = r 1 n e i ( θ n + 2 k π n ) w = z^{frac{1}{n}}=r^{frac{1}{n}}e^{i(frac{ heta}{n}+frac{2kpi}{n})} w=zn1=rn1ei(nθ+n2kπ) 证明： i n θ = ϕ + 2 k π → ϕ = θ n + 2 k π n in heta =phi+2kpi o phi = frac{ heta}{n}+frac{2kpi}{n} inθ=ϕ+2kπ→ϕ=nθ+n2kπ

3. 复变函数

基本概念 w = u + i v = u ( x , y ) + i v ( x , y ) w = u+iv = u(x,y) + iv(x,y) w=u+iv=u(x,y)+iv(x,y) 一个复变函数对应两个二元实变函数

图形表示 极限 设函数 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)在 z 0 z_0 z0的去心领域 0 < ∣ z − z 0 ∣ < ρ 0<|z-z_0|< ho 0<∣z−z0∣<ρ内有定义，若存在复数 A ≠ ∞ , ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 A eq infty,forall epsilon>0,exists delta>0 A=∞,∀ϵ>0,∃δ>0，使得： l i m z → z 0 f ( z ) = A lim_{z o z_0}f(z)=A limz→z0f(z)=A

连续 若 lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = f ( z 0 ) lim_{z o z_0}f(z) = f(z_0) limz→z0f(z)=f(z0)，则f(z)在z0点连续 若f(z)在区域D内处处连续，则称f(z)在D内连续

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