数值分析的发展第 2 部分（2022 年）

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1.奇异核函数的数值秩（ arXiv )

作者 ： 里特什汗 , 弗吉尼亚州坎达潘 , 西瓦拉姆·安比卡萨兰

抽象的 ： 我们研究由核函数 F (x, y) : Rd ×Rd → R 产生的子矩阵的秩，其中 x,y ∈ Rd，沿对角线 x = y 具有奇点。这样的核函数在广泛的应用中经常遇到，例如 N 体问题、格林函数、积分方程、地质统计学、克里金法、高斯过程等。处理这些核函数的挑战之一是对应的矩阵与这些内核大而密集，因此矩阵运算的计算成本很高。在本文中，我们证明了限制由这些核函数产生的子矩阵的数值等级的新定理。在合理温和的假设下，我们证明某些子矩阵的秩在有限精度上是秩不足的。该等级取决于环境空间的维度以及包含相应粒子集的超立方体之间的相互作用类型。这种秩结构可以用来降低某些矩阵运算的计算成本，例如矩阵向量乘积、求解线性系统等。我们还给出了 1D、2D、3D 和 3D 中某些子矩阵的秩增长的数值结果4D，这并不奇怪，与理论结果一致。

2.空间网络模型的数值同质化（ arXiv )

作者 ： 弗雷德里克·埃德尔维克 , 摩根·戈尔茨 , 弗雷德里克·赫尔曼 , 古斯塔夫·凯蒂尔 , 阿克塞尔·马尔奎斯特

抽象的 ： 我们提出并分析了一种用于空间网络数值均匀化的方法，模拟例如扩散过程和机械结构的变形。目的是构建网络的准确粗略模型。通过解决局部子图上的解耦问题，我们构建了具有良好逼近特性的解空间的低维子空间。网络的粗略模型由 Galerkin 公式表示，可用于以较低的计算成本执行具有不同源和边界数据的模拟。我们在粗略尺度上对网络的同质性、连通性和局部性的温和假设下证明了所提出方法的最佳收敛性。对于标量值（热传导）和向量值（结构）模型，理论发现在数值上得到了证实。

3. Oseen方程的广义弱伽辽金方法( arXiv )

作者 ： Wenya Qi , 帕德马纳班·塞沙耶 , Junping Wang

抽象的 ： 在这项工作中，作者介绍了时间相关 Oseen 方程的广义弱 Galerkin (gWG) 有限元方法。广义弱伽辽金方法是基于一种新的近似梯度算子的框架。开发并分析了半离散和全离散数值方案的收敛性、稳定性和误差估计。开发了一个广义的 inf-sup 条件来辅助收敛性分析。在全离散方案的设计中采用了

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