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计算机的原码, 反码和补码.

作者:互联网

计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法. 

一、数据的表示:

1. 机器数和真值

在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

1)、机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。

那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

2)、真值

因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例:0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

 

2. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.

在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

1). 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1] = 0000 0001

[-1] = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

[-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

2). 反码

反码的表示方法是:

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变,其余各个位取反.

[+1] = [00000001] = [00000001]

[-1] = [10000001] = [11111110]

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

3). 补码

补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001] = [00000001] = [00000001]

[-1] = [10000001] = [11111110] = [11111111]

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

3. 为何要使用原码, 反码和补码

在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001] = [00000001] = [00000001]

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001] = [11111110] = [11111111]

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001] + [10000001] = [10000010] = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001] + [1000 0001]= [0000 0001] + [1111 1110] = [1111 1111] = [1000 0000] = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]和[1000 0000]两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001] + [1000 0001] = [0000 0001] + [1111 1111] = [0000 0000]=[0000 0000]

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001] + [1111 1111] = [1111 1111] + [1000 0001] = [1000 0000]

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000] 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000], 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

二、Double Float的取值范围:

(1)取值范围

float和double的范围是由指数的位数来决定的。

float的指数位有8位,而double的指数位有11位,分布如下:

float:

1bit(符号位)

8bits(指数位)

23bits(尾数位)

double:

1bit(符号位)

11bits(指数位)

52bits(尾数位)

于是,float的指数范围为-127~+128,而double的指数范围为-1023~+1024,并且指数位是按补码的形式来划分的。其中负指数决定了浮点数所能

表达的绝对值最小的非零数;而正指数决定了浮点数所能表达的绝对值最大的数,也即决定了浮点数的取值范围。float的范围为-2^128 ~ +2^128,

也即-3.40E+38 ~ +3.40E+38;double的范围为-2^1024 ~ +2^1024,也即-1.79E+308 ~ +1.79E+308。

(2)精度

float和double的精确度是按照整体位数来的,并不是只是考虑小数部分。

float的精度为7~8位有效数字,7位肯定能保证,8位的值也存在。

double的精度为16~17位有效数字

看一段代码

public class Main {
public static void main(String[] args) {
float f6 = 1.000003f;//6位小数位,总共7位
float f7 = 1.0000003f;//7位小数位,总共8位
float f8 = 1.00000003f;//8位小数位,总共9位
float f_8 = 10.000003f;//6位小数位,总共8位
float f_9 = 10.0000003f;//7位小数位,总共9位
float f_10 = 10.00000003f;//8位小数位,总共10位
double d15 = 1.000000000000003;//15位小数位,总共16位
double d16 = 1.0000000000000003;//16位小数位,总共17位
double d17 = 1.00000000000000003;//17位小数位,总共18位
double d_17 = 10.000000000000003;//15位小数位,总共17位
double d_18 = 10.0000000000000003;//16位小数位,总共18位
double d_19 = 10.00000000000000003;//17位小数位,总共19位
System.out.println("结果为false证明 == 校验到了小数点位, 精确度可信");
System.out.println("float(7位有效,6位小数) 1.000003f == 1 的结果是:" + (f6==1));
System.out.println("float(8位有效,7位小数) 1.0000003f == 1 的结果是:" + (f7==1));
System.out.println("float(9位有效,8位小数) 1.00000003f == 1 的结果是:" + (f8==1));
System.out.println("float(8位有效,6位小数) 10.000003f == 10 的结果是:" + (f_8==10));
System.out.println("float(9位有效,7位小数) 10.0000003f == 10 的结果是:" + (f_9==10));
System.out.println("float(10位有效,8位小数) 10.00000003f == 10 的结果是:" + (f_10==10));
System.out.println("------------------");
System.out.println("double(16位有效,15位小数) 1.000000000000003 == 1 的结果是:" + (d15==1));
System.out.println("double(17位有效,16位小数) 1.0000000000000003 == 1 的结果是:" + (d16==1));
System.out.println("double(18位有效,17位小数) 1.00000000000000003 == 1 的结果是:" + (d17==1));
System.out.println("double(17位有效,15位小数) 10.000000000000003 == 10 的结果是:" + (d_17==10));
System.out.println("double(18位有效,16位小数) 10.0000000000000003 == 10 的结果是:" + (d_18==10));
System.out.println("double(19位有效,17位小数) 10.00000000000000003 == 10的结果是:" + (d_19==10));
}

}

结果为false的,那么小数点存在有意义,也就是精确位

从结果来看,float可以精确到有效数字8位, double到了17位

之所以不能用f1==f2来判断两个数相等,是因为虽然f1和f2在可能是两个不同的数字,但是受到浮点数表示精度的限制,有可能会错误的判断两个数相等!

标签:0000,double,float,补码,反码,原码
来源: https://www.cnblogs.com/JIANGzihao0222/p/16677953.html