2022/09/26小测 题解

（本文将笔者测试时的想法及赛后想法均写出来了）

题目：

话说某某在 \(cj\) 校运会上异军突起，其实不是偶然，而是有历史原因的。
时光回溯到 \(XX\) 年前，某某为了心中的理想，每天爬 \(N\) 里山路上学。直到有一天 \(mlj\) （也就是战神 \(Mars\)）来到这里，被某某所打动，于是决定帮某某一把。从某某家到学校中间的这 \(N\) 里山路在一条直线上，第 \(i\) 里山路的海拔高度为 \(H_i\) ，如果一段相同高度的山路两边都比它低或者是山的边界，那么这段山路将被称之为“山顶”。$mlj $想这连绵起伏的山路爬着多累啊，于是他决定动用神力，降低某些山路的海拔高度使得山顶的个数不超过 \(K\)。但 \(mlj\) 不想做得太明显而被某某发现，于是他求助于你。
请求出要使“山顶”的数目不超过k，所有山路降低的高度之和至少是多少。

分析过程：

• [\(1\)] : 因为要求我们保留最后 \(k\) 个山顶后，所删除的高度最小，首先我们考虑贪心，我们先考虑将这个图形分一下层，那么每次一段区间两端出现 \(0\) 时，那么这段区间就有 至少一个 山顶。但是由于笔者认为太复杂就换了一种错误的想法。下面先说一下错误的想法（可略过）。

• [\(2\)]：我们考虑先找到所有的山顶，然后利用贪心的思想去掉多余的最小的山顶，但是这种做法会忽视掉一个大山顶上包含若干个小山顶的情况，那么我们就要解决这个问题。

• [\(3\)]：我们可以利用线段树来维护某一段区间的山顶个数，然后从顶往去减掉多余的山顶，减到只剩一个的时候停止。而这种做法太复杂了，我们就又回到了分层的想法。我们考虑将这个图按高度分一下层，然后先求出大的山顶，若大山顶个数大于 \(k\) ，那么我们就可以直接选取最小的去删掉，然后用线段树标记一下这个区间。那这种贪心策略是否正确呢，显然不正确。假如说某一个山顶上恰好有 \(k\) 个山顶，而与他同层的也恰好有 \(k\) 个，那么我们怎样处理呢。我们很容易想到用 \(dp\) 来将所有情况处理出来

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