计算机自底向上（二）：二进制减法

在上一篇随笔中我们实现了一个位数任意多的二进制加法器，在这里我们进一步去考虑下一种运算：减法运算。事实上我们不需要一个减法逻辑；我们需要的是一个负号，因为A - B = A + (-B)。用负号的好处还在于我们也顺手实现了负数的逻辑，不会让0 - 1变成一个无意义的结果。为此我们需要一个bit来储存我们的符号。
让我们想想，在自然情况下，0应该代表正号而1代表负号，因为你不希望10代表-0而是代表一个无符号的2。让我们先把这个符号位当作一个单纯的正负号，直觉上我们应该有如下结果：

5 = 0 101，-5 = 1 101

这是十分自然的，因为现在1就相当于一个负号。让我们把5和-5加起来，我们希望得到一个0；但很不幸的是我们失败了：

0101 + 1101 = (1)0010 = 2 != 0

记住，我们的位数是有限的，因此溢出的1会被我们抛弃。
直接把1添加到数字的前面构成其相反数的方法行不通，我们进入了未知领域。让我们考虑一下我们还可以做什么；抱着尝试一下的心态，我们把负号保留，而把5的每一位都做一次非运算（取反，A的取反记为~A），来构成我们的-5：

5 = 0 101， -5 = 1 010

然后再相加：

0101+1010 = 1111

很快我们就会发现，因为我们的位数是有限的，我们马上就可以得到我们想要的0：

1111 + 0001 = (1)0000

让我们再小心地尝试别的数：

5 = 0 101， -2 = 1 101
0101 + 1101 = 0010， 0010 + 0001 = 0011 = 3 = 5 + (-2)

我们取得了胜利。这是一个简单而自然的计算方式，并且能给出正确结果，实现起来也非常简单：我们在收到一个要做减法的信号时，保持被减数不变，把减数按位取反（非门），相加后再把输出送回输入并且加上一个1，就能得到正确的结果。不过我们还有一个更加聪明的办法；我们的全加器是有一个进位输入的。大多数进位输入被上一个全加器的进位输出连接，但是第一个全加器的进位输入是空的。这意味着我们可以在这个进位输入中加入一个1，根据加法结合律，A+(-B)+1 = A+(-B+1)，所以我们会先把B取反，再加上一个1，而不是先加上A。这样做还有一个好处，那就是A的取反加1的结果（~A+1）与A相加是0，从而~A+1是真正意义上的A的相反数。
我们将~A称为A的反码，而~A+1称为A的补码。当我们要计算减法时，只需要把把减数变成它的补码，再和被减数相加，就可以得到正确的结果。我们得到这个结论的方式也许是猜测和运气，但却不无根据；事实上，这是一种被称为模算术或者时钟算术的数学。这里是一篇关于补码和模算术的文章，介绍了更多细节。
好了，我们有了许多理论准备，并且给出了一个实现方式。基本上，我们要依靠一大堆的非门来实现取反，并且要求这个非门被减法信号控制：当减法信号为1时，数据就要取反，不然就不取反。有没有办法简化这一过程？这个逻辑过程可以列一个真值表：当减法信号为1，数据输入0就输出1，输入1就输出0；否则不变。这还是异或门的逻辑；所以我们可以将数据输入和一根信号线连接起来加上一个异或门，并且信号线连接最低位的加法器的进位输入：此时输入0为加法，输入1为减法，自动完成了补码的转换。

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来源： https://www.cnblogs.com/nanonano01482/p/16610486.html