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dfs序 括号序 欧拉序 树上莫队 虚树建立 傻傻分不清

作者:互联网

括号序

进加一次,出加一次,显然最后得到的序列只有 \(2n\) 个点。

void dfs(int x) {
	in[x]=++tot;
	for(y) dfs(y);
	out[x]=++tot;
}

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显然我们希求将树上路径表示为区间,然后用莫队抑或是其它数据结构维护。

对于 \(y\in T_x\) 的情况就是上图,我们发现只要取 \([in_x,in_y]\) 即可达到只有路径上的点被加了一次,其他要么没加要么加 \(2\) 次。因此,我们只保留加 \(1\) 次的点。也就是说每次更新一个点就取反它的是否加入状态。

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否则,显然我们取 \([out_x,in_y]\),再补上 \(LCA\) 的贡献即可。

欧拉序

用来求 LCA 以及求的方式能够证明某些结论。

void dfs(int x) {
	id[x]=++tot; v[tot]=x;
	for(y) {
		dfs(y);
		v[++tot]=x;
	}
}

我们可以猜想 \(x,y\) 的 LCA 就是 \(v[id_x,id_y]\) 深度最浅的点。

下文假定 \(id_x<id_y\)/

不难发现命题等价于记 \(LCA(x,y)=d\),\(d\) 的祖先不在区间内,\(d\) 的兄弟不在区间内,\(d\) 出现在区间内。

考虑 \(id_{fa_d}<id_x<id_y\) ,且要再次出现 \(fa_d\) 要等到 \(d\) 回溯完后才出现。所以一定不会出现。

考虑在 \(d\) 之前遍历的兄弟无影响(因为要之前的遍历完才可能遍历到 \(d\)),之后的不会在区间取到,因为要 \(d\) 回溯上去再遍历兄弟,所以兄弟不在区间内。

若 \(d=x\),显然正确。因为显然 \([id_x,id_y]\) 都在 \(x\) 子树内。最浅的一定是 \(x\)。

若不是,则 \(x,y\) 分居 \(d\) 的不同子树,那么要实现不同子树的遍历一定需要回溯到 \(d\) 再遍历下去,所以一定存在 \(d\)。

综上,这样是对滴。

虚树

https://www.luogu.com.cn/blog/Rainbowsjy/fou-xu-yao-nao-zi-di-jian-xu-shu

标签:遍历,++,tot,id,dfs,LCA,莫队,虚树
来源: https://www.cnblogs.com/xugangfan/p/16583732.html