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拉格朗日插值

作者:互联网

拉格朗日插值

定义:

什么是插值?

百度百科上这样写:

离散数据的基础上补插连续函数,使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。 [1]

插值是离散函数逼近的重要方法,利用它可通过函数在有限个点处的取值状况,估算出函数在其他点处的近似值

插值:用来填充图像变换时像素之间的空隙。

人看的确信

通俗点就是李云龙拉来了一门意大利炮,然后一炮打出去,那么轨迹就可以抽象为一个函数 \(f(t)\),然后因为炮弹飞的很快,你能看见部分轨迹上的点,那么插值就是让你通过这些点来近似还原函数。

拉格朗日插值法

插值有很多种求法:三角函数插值,线性插值,牛顿插值,拉格朗日插值。

Joseph-Louis Lagrange 拉格朗日

思想就是硬凑确信

怎么硬凑?假设平面上有三个点,\((x_1,y_2),(x_2,y_2),(x_3,y_3) \ \ x_1<x_2<x_3\)。

然后拉格朗日这个人呢就想对每个点搞一个子函数 \(f_i(x)\),强制令在 \(x=x_i\) 的时候 \(f_i(x)=1\),在\(x=x_j,j \ne i\) 的时候 \(f_i(x)=0\),然后把这 \(n\) 个子函数凑起来。

那怎么计算这 \(n\) 个子函数?我们设第 \(i\) 个子函数为:

\[f(x)=\begin{cases}0 \ \ x = x_j(j \ne i) \\1 \ \ x=x_j \end{cases} \]

然后插值的结果就是:

\[f(x)= \sum_{i=1}^{n}y_if_i(x) \]

现在好了,如何构造出子函数的形式呢?

因为在 \(x=x_j ,j\ne i\) 时要为 \(0\),我们可以想到令分子为 \(0\)。

因为在 \(x=x_i\) 时要为 \(1\),所以想到此时分子分母相同。

以 \(f_1(x)\) 举例,那就是:

\[f_1(x)=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} \]

这样就满足了条件。

那么求和就是:

\[f(x)= \dfrac{y_1(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}+ \dfrac{y_2(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}+ \dfrac{y_3(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)} \]

推广到一般,对于 \(n\) 个点,设:

\[f_i(x)=\dfrac{\prod_{j \ne i}(x-x_j)}{\prod_{j \ne i} (x_i-x_j)} \]

那么插值结果就是:

\[f(x)=\sum_{i=1}^{n}y_if_i(x)=\sum_{i=1}^{n}y_i \times \dfrac{\prod_{j \ne i}(x-x_j)}{\prod_{j \ne i} (x_i-x_j)} \]

P4781 【模板】拉格朗日插值

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define debug cout<<"Szt ak ioi\n";
#define int long long

const int Mod=998244353;
const int N=1e6+7,M=2e3+1;

using namespace std;

inline int read() {
	int x=0,f=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))f|=(ch=='-'),ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}

int Ans,n,k,x[N],y[N];
int inv(int a,int b){
	int res=1;while(b){if(b&1) res=(res*a)%Mod;
	b>>=1;a=(a*a)%Mod;}return res;
}

signed main() {
	n=read(),k=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)x[i]=read(),y[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int Fz=y[i]%Mod,Fm=1;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(i==j) continue;
			Fz=((Fz*(k-x[j]))%Mod);
			Fm=((Fm*(x[i]-x[j]))%Mod);
		}Ans=(Ans+(Fz*inv(Fm,Mod-2)%Mod)+Mod)%Mod;
	}
	printf("%lld\n",(Ans+Mod)%Mod);
	return 0;
}

重心拉格朗日

咕。

标签:拉格朗,函数,插值,dfrac,ne,prod
来源: https://www.cnblogs.com/BlackDan/p/16553363.html