拉格朗日插值
作者：互联网
拉格朗日插值
定义：
什么是插值？
百度百科上这样写：
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。 [1]
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
插值：用来填充图像变换时像素之间的空隙。
人看的确信
通俗点就是李云龙拉来了一门意大利炮，然后一炮打出去，那么轨迹就可以抽象为一个函数 \(f(t)\)，然后因为炮弹飞的很快，你能看见部分轨迹上的点，那么插值就是让你通过这些点来近似还原函数。
拉格朗日插值法
插值有很多种求法：三角函数插值，线性插值，牛顿插值，拉格朗日插值。
思想就是硬凑确信。
怎么硬凑？假设平面上有三个点，\((x_1,y_2),(x_2,y_2),(x_3,y_3) \ \ x_1<x_2<x_3\)。
然后拉格朗日这个人呢就想对每个点搞一个子函数 \(f_i(x)\)，强制令在 \(x=x_i\) 的时候 \(f_i(x)=1\)，在\(x=x_j,j \ne i\) 的时候 \(f_i(x)=0\)，然后把这 \(n\) 个子函数凑起来。
那怎么计算这 \(n\) 个子函数？我们设第 \(i\) 个子函数为：
\[f(x)=\begin{cases}0 \ \ x = x_j(j \ne i) \\1 \ \ x=x_j \end{cases} \]然后插值的结果就是：
\[f(x)= \sum_{i=1}^{n}y_if_i(x) \]现在好了，如何构造出子函数的形式呢？
因为在 \(x=x_j ,j\ne i\) 时要为 \(0\)，我们可以想到令分子为 \(0\)。
因为在 \(x=x_i\) 时要为 \(1\)，所以想到此时分子分母相同。
以 \(f_1(x)\) 举例，那就是：
\[f_1(x)=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} \]这样就满足了条件。
那么求和就是：
\[f(x)= \dfrac{y_1(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}+ \dfrac{y_2(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}+ \dfrac{y_3(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)} \]
推广到一般，对于 \(n\) 个点，设：
\[f_i(x)=\dfrac{\prod_{j \ne i}(x-x_j)}{\prod_{j \ne i} (x_i-x_j)} \]那么插值结果就是：
\[f(x)=\sum_{i=1}^{n}y_if_i(x)=\sum_{i=1}^{n}y_i \times \dfrac{\prod_{j \ne i}(x-x_j)}{\prod_{j \ne i} (x_i-x_j)} \]#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define debug cout<<"Szt ak ioi\n";
#define int long long
const int Mod=998244353;
const int N=1e6+7,M=2e3+1;
using namespace std;
inline int read() {
int x=0,f=0;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))f|=(ch=='-'),ch=getchar();
while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15),ch=getchar();
return f?-x:x;
}
int Ans,n,k,x[N],y[N];
int inv(int a,int b){
int res=1;while(b){if(b&1) res=(res*a)%Mod;
b>>=1;a=(a*a)%Mod;}return res;
}
signed main() {
n=read(),k=read();
for(int i=1;i<=n;i++)x[i]=read(),y[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++){
int Fz=y[i]%Mod,Fm=1;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(i==j) continue;
Fz=((Fz*(k-x[j]))%Mod);
Fm=((Fm*(x[i]-x[j]))%Mod);
}Ans=(Ans+(Fz*inv(Fm,Mod-2)%Mod)+Mod)%Mod;
}
printf("%lld\n",(Ans+Mod)%Mod);
return 0;
}
重心拉格朗日
咕。
标签：拉格朗,函数,插值,dfrac,ne,prod 来源： https://www.cnblogs.com/BlackDan/p/16553363.html