连锁商店 （2021CCPC女生赛）

Problem - C - Codeforces

题意

有 n ( n <= 36) 个点，每个点有颜色，每个颜色都相同的权值（为正数）；有 m 条边，u -> v 且 u < v, 求从 1 号点到 i 号点的路径上，选颜色互不相同的一些点，使权值和最大

状压dp

首先可考虑 TSP 问题类似的状压dp方法，但 \(36*2^{36}\) 太大，考虑优化

可以分析一下dp需要存哪些状态：TSP 中要存已经走过的点集和当前点，因为要满足不走重复点，所以这些状态是必要的；而本题中边都满足 u < v, 不会走重复点，所以不必要存下所有走过的点集，对之后的决策有影响的就是走了哪些颜色

但是存走了哪些颜色，也是 \(2^{36}\) 级别的，但是显然如果一个颜色在所有点中只出现了一次，那这个颜色是一定可以选的，因此遇到这个颜色直接选就好，它也不会对之后的选择造成影响，所以只出现一次的颜色是不必存下来的

只存下出现 2 次及以上的颜色，这样复杂度就变成了 \(n^2*2^{\frac n2}\), 就可以状压dp了

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;
#define endl "\n"

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 40, M = 18;
int n, m, tot;
int c[N], w[N], ww[N], cnt[N], id[N];
int f[(1 << M) + 10][N];
int ans[N];
vector<vector<int> > G(N);
void add(int u, int v)
{
	G[u].push_back(v);
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> c[i];
		cnt[c[i]]++;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (cnt[i] > 1)
			id[i] = tot++;
		else
			id[i] = -1;
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> ww[i];
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		w[i] = ww[c[i]];
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		c[i] = id[c[i]];

	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		add(u, v);
	}

	memset(f, -1, sizeof f);
	f[0][1] = 0;
	for (int u = 1; u <= n; u++)
	{
		for (int s = 0; s < 1 << tot; s++)
		{
			if (f[s][u] == -1)
				continue;
			//更新自身，选还是不选
			if (c[u] == -1)
				f[s][u] += w[u];
			else
			{
				if (!(s >> c[u] & 1))
					f[s | (1 << c[u])][u] = max(f[s | (1 << c[u])][u], f[s][u] + w[u]);
			}
			ans[u] = max(ans[u], f[s][u]);
			//转移
			for (auto v : G[u])
				f[s][v] = max(f[s][v], f[s][u]);
		}
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cout << ans[i] << endl;
    return 0;
}

floyd + dfs

本题有个性质是每个颜色的权值是一样的，所以可以认为第一次遇到某个颜色的时候就选择，所以可以 dfs（若每个颜色的权值不一定相同就只能按上述的状压dp）

首先先用 floyd 优化一下边（加速 dfs）

若存在 i -> k, k -> j, i -> j 三条边，明显多经过几个点会更优，所以只需要保留 i -> k -> j 一条路径即可，可删去 i -> j 这条边 （由于边数很小，可以压缩为二进制，也可以用邻接矩阵、 set 来存边删边）

优化完复杂度我也不会算。。。据说 dfs 是 O(n)

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;
#define endl "\n"

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

ll n, m;
ll c[50], w[50], vis[50];
ll dp[50], path[50], ans[50];

void dfs(ll now, ll fa)
{
	if (!vis[c[now]])
		dp[now] = dp[fa] + w[c[now]];
	else
		dp[now] = dp[fa];
	ans[now] = max(ans[now], dp[now]);
	vis[c[now]]++;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (path[now] & ((ll)1 << i))
		{
			dfs(i, now);
			vis[c[i]]--;
		}
	}
}

void solve()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> c[i];
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> w[i];
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		ll u, v;
		cin >> u >> v;
		path[u] = path[u] | ((ll)1 << v);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			for (int k = 1; k <= j; k++)
				if (path[i] & ((ll)1 << k) && path[k] & ((ll)1 << j) && path[i] & ((ll)1 << j))
					path[i] -= (ll)1 << j;
	dfs(1,0);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cout << ans[i] << endl;
}

int main()
{
	solve();
	return 0;
}

标签：now,女生,int,ll,50,2021CCPC,连锁商店,include,dp
来源： https://www.cnblogs.com/hzy717zsy/p/16541417.html