有关拓扑序

written on 2022-06-20

昨天月赛的一道题目，写点感触。

题意：对于一棵给定的有根树，每一个点只有其父亲被选取后它才可以被选取，其 被选取权值 为当前值与其权值的较小值，求最大的总权值。

直观的思路是每选取一个点，就将它的所有儿子的权值塞入堆，这样的时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。考虑优化。那么对于一个点 \(i\)，其可以贡献的最大权值 \(Q\) 即为 \(\min(Q_i,Q_{fa_i})\)。

引理：对于每一个点 \(i\)，其最大贡献值总为 \(Q_i\)。

感性证明：假设当前存在一个大根堆，那么所有的权值，因为已经由其父亲更新过，所以每次只要选取堆顶权值，即可保证选择的最优性。

此类题的要素在于决策的贪心性，发现每一个点的权值只与其祖先结点有关，与其他结点，经按贪心顺序排好后无关。

这题难度显示在黄偏下，但是对于我这种菜鸟还是有一定的思路启发意义的。

update on 2022-7-31

这题确实对贪心的思考有一定的启发意义，但是和拓扑序有什么关系。。

标签：一个点,拓扑,选取,这题,2022,权值,有关,贪心
来源： https://www.cnblogs.com/Freshair-qprt/p/16538246.html