缩点—DAG，拓扑排序与Tarjan
作者：互联网
1.DAG
说缩点，就必须要先说DAG
有向无环图（DAG），是一种特殊的有向图，它没有有向环；
这就是个DAG
这个就是不是DAG，那你觉得里面有几个环呢？
事实上只有一个，2-3-4-5是一个环
你可能觉得5-9-8-7也是，但其实它不能算环，因为它们不是一个强连通分量
强连通分量就是若存在点集A，且对于任意的两点X∈A，都相互可达，这就是一个强连通分量。特别的，一个点也被看作是一个强连通分量。
其实就是环
那DAG有什么好处？DAG上可以跑很多的算法，而且不用有环的顾虑，处理起来有时比普通的有向图更加方便
要是题目给的不是DAG怎么办？这就引出了今天的主角——
2.缩点
所谓缩点，就是把有向图里的环看做一个点，然后把整个图变成DAG的过程
还是刚才的图
把2345看做一个点会怎样呢？
变成了DAG!
其实很河里，因为把所有的环都变成点了，所以没有环了，就成了有向无环图了
思想有了，那如何用代码实现呢？
想要把强连通分量（环）缩成点，首先就要能找强连通分量
这就是Tarjan算法
2.1 Tarjan
我们定义数组dfn[i]表示节点i在遍历中访问到的次序，low[i]表示从节点i开始所能访问到的最早的次序
这么说也许有些抽象，还是那个图
如果我们从1开始dfs，dfn[1]=1,dfn[2]=2,dfn[3]=3.....以此类推
但low就不一样了，low[1]=2
这是为什么?回看low[i]的定义，我们来模拟，从1出发可以1-2-3-4-5-2回到2，在这之后就回不到更早的地方了
同样的，2,3,4,5的low都等于2
而如果有一个点u，dfn[u]=low[u],那肯定出现了强连通分量（也可能是一个点构成的）
为什么呢？u的时间访问次序是dfn[u]，而根据low的定义，从u出发能到的最早次序竟然就是dfn[u]自己，说明要么是都没法走下去，要么是走下去又通过环绕回来了
噫！好！现在我知道有强连通分量了！（该死的畜生！你发现了甚么？）
那我咋知道有哪些呢？
用一个简单的图看一下
如果我们要找到2345这个强连通分量，怎么记录这些点呢？
反正我们知道肯定是在访问节点2的时候揪出这个强连通分量来，那首先我们来决定到底是在递归3之前揪还是在回溯回来之后揪
这个问题看起来很蠢，因为你还没往下递归怎么可能知道后面有什么
那我们只要记录2后面有什么，然后全都是强连通分量是不是就行了？
但看图，还有个小尾巴6在后面呢
那么Tarjan是怎么办的呢？开栈，然后每到一个点压栈
有人就要说了：哎呀开栈有什么鸟用，6不还是最后在栈顶带着呢！
但不要忘了6自己也是个强连通分量，按照我们的规则，在6即将推出dfs的时候，因为dfn[6]=low[6]（此时属于走不下去的情况），6自己作为一个强连通分量已经被揪出来了
所以，栈里2以上的所有点都是2这个强连通分量的点
我们只需要开个栈，每访问一个点就压栈，然后接着往下dfs。在回溯回这个点的时候，退出前看下dfn[i]是不是等于low[i]，如果是的话就把栈里i及以上的所有点全都yue地吐出来作为一个强连通分量
至此，Tarjan求强连通分量的基本思想已经明确了，接下来就是一些细枝末节的小细节如何处理
首先，main函数里只用tarjan一次吗？
还是简单的图
虽然这里第一个点是1，但如果我交换一下1和2的序号呢？
如果我们还是tarjan(1)，这样对于这个图可以成功地揪出来{1,3,4,5}，{6}这两个强连通分量，但2还没有
所以我们要有循环，遍历每个点，且如果这个点的dfn不为零（没有被遍历过）就从这个点再来一波Tarjan
具体代码
foru(i,1,n) if(!dfn[i]) tarjan(i);但这样不会炸掉复杂度吗？对于这个图，从2再遍历不会再把下面跑一边吗？不会重复揪出来吗？
其实，在Tarjan时有一个重要的条件，只有当下一个点的dfn为0时才会过去遍历
为了方便理解，这里先给出Tarjan函数的代码，下面我们结合代码再说
void tarjan(int x){
dfn[x]=low[x]=++times;
sct.push(x);
visit[x]=1;
foru(i,0,(int)e[x].size()-1){
int v=e[x][i];
if(!dfn[v]){
tarjan(v);
low[x]=min(low[x],low[v]);
}else{
if(visit[v]){
low[x]=min(low[x],dfn[v]);
}
}
}
if(dfn[x]==low[x]){
sid++;
while(!sct.empty()){
ssc[sct.top()]=sid;
wei[sid]+=a[sct.top()];
visit[sct.top()]=0;
if(sct.top()==x){
sct.pop();
break;
}
sct.pop();
}
}
}注意到，这里还有一个visit数组，布尔型，明显是在记录这个点有没有被走过。
当一个点被访问（入栈）时，visit=1
当一个点作为强连通分量的一部分被yue出来时，visit=0
但为什么中间遍历的时候不用!visit[v]而是!dfn[v]？
注意到，dfn无论怎样只会被赋值一次，从此以后不再变化
而一个点的visit是会变化的
当遍历到的点visit=0的时候，并不代表这个点可以走
我们浅改一下刚才的图
加入我们从1开始跑了一遍tarjan，到这一趟结束以后发生了什么呢？
1,3,4,5,6的dfn和low都已经被计算确定，{1,3,4,5}和{6}两个ssc（强连通分量）已经被揪出来了
而visit已全部是0了
当我们再从2开始跑tarjan，visit[1]=0，而dfn[1]是不等于0的，如果以visit为标准，岂不是又白白向右侧跑了一趟？
此外，好像我们一直没有明确过dfn和low的计算方式
dfn似乎很简单，我们可以用一个times变量，每访问一个节点就dfn[x]=++times，这样即可按时间顺序依次赋予不同的dfn
事实上low的初值也应该和dfn同时初始化为++times。尽管它后面有可能通过环走到更早的地方，但谁知道呢？先赋值成自己的dfn，要是确实没法走回更早的地方就不用了再想着给low赋值了
怎么知道l会不会走回更早的地方？问问后面的点呗！
low[当前点]=min(low[当前点],low[后面的点])
是不是这样就完事大吉了？对每一个v我们都取low？我们再浅改一下图
多了一条从7到5的单向边，有什么区别？
一样的套路，一样的口味，先从1开始跑一边tarjan，拿出1345和6俩ssc
好戏上演！从2开始遍历，一开始没什么问题，2->7，到7就有问题了
从7遍历的时候，会尝试对5的low取min，而且能取过来！但5的low是因为5可以走到1所以才会形成环，7走过去，但走不回来呀！
所以要把对low[v]取min的操作 放到if(!dfn[v])里面
现在呢？彻底解决Low的问题了？
并没有！
在刚才，我们限制只有当能走过去的时候才尝试用low[v]更新low[当前点]
看图，那5怎么办？根据我们的限制条件，如果5尝试遍历1是过不去的，因为!dfn[1]==false，可明明low[5]=1就是用从5到1的单向边取过来的啊！怎么不能取了？
特判就行了，既然5已经走过了（visit[5]==1），我们就可以取一次，而且这样不会影响7->5时的不取，因为visit数组在yue ssc的时候会变成0，所以枚举7的时候5这边已经全都visit=0了
在之后就是存储的问题
对于缩点后的新图，因为原图中所有的环和剩下的点都各自构成了强连通分量被储存，所以我们新图里的节点就是所有的强连通分量
到现在要引入新的编号，原题给的点编号一般是1~n，但在tarjan过后，我们用ssc[i]表示节点i所属的强连通分量的ssc编号（变量sid），为了不让ssc编号（变量sid）重复，在每次yue之前先++sid
点不光有编号，还有点权。分类讨论易得，如果一个ssc只有一个点，其新点权明显=旧点权；如果ssc是一个环，那新点权=旧点权之和
这个好说，用wei[i]表示 sid=i的ssc 的点权，在yue的时候，一yue出来一个就把这个点的点权加上到wei[ssc[这个点]]里
点解决，还要在ssc之间建边
枚举所有的边，如果这个边的两端点不属于同一个ssc，那么把它加到新的vector里，作为新图的边
注意到这样缩出来的DAG是可能有重边的，在无边权图中问题不大，有边权图中就要根据方向注意考虑合并边权了
3.拓扑排序
虽然取着个排序的名，但似乎和我们熟悉的排序算法作用不大一样，在我看来，对DAG拓扑排序是找到一种执行算法的顺序，比如为DP找到顺序
什么是拓扑排序呢？用一张图来轻松解释
这张图拓扑排序完的序列是：1,2,4,3,5
开个队列，每次取出队首，依次遍历出边，把v的入度减一，如果v减完以后入度为0，把v入队
有个很形象的解释：假如有向边代表前置条件，例如完成5需要同时完成3和4，所有的点被遍历的顺序是如何的？
肯定要先找没有前置条件的点1，完成它，之后对于2和4来说，它们的前置条件量减一，再看看现在谁没有前置条件，用它循环即可
void Topu(){
foru(i,1,sid){
if(rd[i]==0) q.push(i);
}
while(!q.empty()){
int p=q.front();
// cout<<p<<endl;
q.pop();
dor.push_back(p);
foru(i,0,(int)de[p].size()-1){
int v=de[p][i];
rd[v]--;
if(rd[v]==0) q.push(v);
}
}
}在这里dor存储的是拓扑排序的输出序列
至此，缩点这个题的模板已经记录完毕了，后面的dp因为没有任何含金量就不写了
总体思路：要求最大点权和路径->发现是有向有环图->想转换成DAG跑DP->缩点->用tarjan找ssc
完整代码
// Problem: P3387 【模板】缩点
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3387
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x7fffffff
#define MAXN 10050
#define MAXM 100050
#define foru(a,b,c) for(int a=b;a<=c;a++)
#define ford(a,b,c) for(int a=b;a>=c;a--)
#define RT return 0;
#define db(x) cout<<endl<<x<<endl;
#define LL long long
#define LXF int
#define RIN rin()
#define HH printf("\n")
using namespace std;
inline LXF rin() {
LXF a=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9') a=(a<<1)+(a<<3)+c-'0',c=getchar();
return a;
}
inline void out(LXF n){
if(n==0) return;
out(n/10);
putchar(n%10+'0');
}
//Main
int n,m,a[MAXN];
vector<int> e[MAXN];
void SaveOriginalG(){
n=RIN,m=RIN;
foru(i,1,n) a[i]=RIN;
foru(i,1,m){
int x=RIN,y=RIN;
e[x].push_back(y);
}
}
//Tarjan
int dfn[MAXN],low[MAXN],ssc[MAXN],wei[MAXN],sid,times;
bool visit[MAXN];
stack<int> sct;
void tarjan(int x){
dfn[x]=low[x]=++times;
sct.push(x);
visit[x]=1;
foru(i,0,(int)e[x].size()-1){
int v=e[x][i];
if(!dfn[v]){
tarjan(v);
low[x]=min(low[x],low[v]);
}else{
if(visit[v]){
low[x]=min(low[x],dfn[v]);
}
}
}
if(dfn[x]==low[x]){
sid++;
while(!sct.empty()){
ssc[sct.top()]=sid;
wei[sid]+=a[sct.top()];
visit[sct.top()]=0;
if(sct.top()==x){
sct.pop();
break;
}
sct.pop();
}
}
}
//DAG
int rd[MAXN];
vector<int> de[MAXN],rdp[MAXN];
void SaveDAG(){
foru(i,1,n){
foru(j,0,(int)e[i].size()-1){
int v=e[i][j];
if(ssc[i]!=ssc[v]){
de[ssc[i]].push_back(ssc[v]);
rd[ssc[v]]++;
rdp[ssc[v]].push_back(ssc[i]);
}
}
}
}
//Topu
queue<int> q;
vector<int> dor;
void Topu(){
foru(i,1,sid){
if(rd[i]==0) q.push(i);
}
while(!q.empty()){
int p=q.front();
// cout<<p<<endl;
q.pop();
dor.push_back(p);
foru(i,0,(int)de[p].size()-1){
int v=de[p][i];
rd[v]--;
if(rd[v]==0) q.push(v);
}
}
}
//DP
int dp[MAXN],ans;
void DP(){
foru(i,0,(int)dor.size()-1){
int x=dor[i];
dp[x]=wei[x];
foru(j,0,(int)rdp[x].size()-1){
dp[x]=max(dp[x],dp[rdp[x][j]]+wei[x]);
}
ans=max(ans,dp[x]);
}
}
int main(){
SaveOriginalG();
foru(i,1,n) if(!dfn[i]) tarjan(i);
SaveDAG();
Topu();
DP();
cout<<ans;
return 0;
}
标签：缩点,Tarjan,DAG,visit,连通,dfn,low,sct,ssc 来源： https://www.cnblogs.com/XHZS-XY/p/16526540.html