AC 自动机
作者：互联网
重新学 \(AC\) 自动机发现以前就像没见过一样……
首先是一段经典的话：“\(AC\) 自动机是 \(trie\) 树上跑 \(kmp\)”
于是 \(AC\) 自动机的关键在于运用 \(nxt\) 进行匹配
由于这时的 \(nxt\) 形成一棵树形结构，可以将一些匹配问题转化为树上问题
如果 \(x\) 匹配到了文本串，那么所有 \(x\) 的祖先也都是可以匹配上的
那么经常可以通过统计祖先的前缀和来方便地维护
动态题目可以用树状数组等结构来维护子树信息
另外，为了加快失配匹配，可以建立虚儿子，于是匹配可以连续进行
至于具体的图就先不模拟了
一定注意一个大坑点是在这种 \(trie\) 图上父亲的特殊标记是要下传到儿子上的
注意父亲的编号不一定比儿子的小，因此这部分递推要写在 \(bfs\) 里，不能直接 \(for\) 循环！！！
另外补充一点，可以发现 \(AC\) 自动机的构建过程复杂度是要乘上字符集大小的，如果字符集较大，我们可以用主席树来构建，因为写出转移会发现大部分儿子都是从 \(nxt_i\) 继承过来的
\(AC\) 自动机上的 \(dp\)
\(AC\) 自动机上的 \(dp\) 一般都设 \(f[i][j]\) 表示长度为 \(i\) 的串结束于 \(j\) 节点的情况，那么转移相当于枚举所有的儿子进行移动
还有就是 \(dp\) 的过程中尽量通过改变自动机的样子来调整 \(dp\)，而不是无脑往上加状态
比如要求到达关键串停止，其实没有必要增加状态记录有没有到达关键串，而是直接把自动机上所有关键串的儿子指向自己即可
设 \(f[i][j][0/1]\) 表示长度为 \(i\) 且结束于 \(j\) 节点，卡不卡上限的方案数
那么模拟题意进行转移即可
对于前导零的情况可以初始化时给 \(f[len][trie[0][j]][0]\) 进行赋值
不合法的串建立 \(trie\) 树时顺便打标记，注意需要把 \(nxt[x]\) 的标记继承过来
这个分类讨论就过于阴间了……
直接考虑 \(L=2\) 的情况，发现从 \(f[i]\) 转移到 \(f[i+1]\) 或 \(f[i+2]\)
而在 \(AC\) 自动机上的转移方程都是固定的
那么可以把这两行放进矩阵里进行转移
这道题 也是一样的道理，居然还是个黑题
结合树上问题
首先插入操作都直接用于构建 \(AC\) 自动机即可
对于询问 \((x,y)\) 的本质相当于求 \(fail\) 树上 \(x\) 的子树内有多少节点是 \(y\) 串内的
考虑 \(y\) 串在 \(trie\) 上走过的路径即是整个串中的节点
那么可以把询问离线，然后遍历整棵 \(trie\) 树，而在 \(fail\) 树上的子树关系通过树状数组维护 \(fail\) 树中的 \(dfs\) 序来得到
注意遍历 \(trie\) 树的时候不能直接用原来的 \(trie\) 数组，因为已经经过 \(AC\) 自动机的改造变成了一张图，需要备份
一样的道理，每次在 \(fail\) 树上进行单点加和子树和的操作即可
还是一样的套路，只不过变成了改变一个串的权值
一个串的权值在 \(fail\) 树上影响的范围仍然是一个区间，那么直接在线段树上开 \(multiset\) 来维护这个区间的权值集合，查询时拿出最大值，修改时先删后加入
非常神奇的一个题
首先明确枚举的是母串 \(t\)，然后寻找有多少符合条件的子串 \(s\)
对于一个 \(s\) 需要满足的条件其实是有两部分组成：能够作为满足条件 \(3\) 的子串；每次出现时都是满足条件 \(3\) 的
换句话说其在 \(t\) 中出现的次数是等于满足条件 \(3\) 出现的个数
第一个是自动机上用树状数组维护的基本操作，来看第二个怎么求
可以倒序枚举 \(t\) 的每一位，找到一个能匹配后缀的最靠前的串，并且不存在一个之前匹配的串的将其包含
其中最靠左的一个串可以预处理的时候顺便求出
以前写得有点儿抽象，重新来写一发
首先所有备选的串 \(s\) 一定是 \(fail\) 树上 \(t\) 代表的每一个节点上的其它字符串（这个结束位置要事先在 \(trie\) 图上往下转移一下）
考虑怎样选出这些字符串中满足第三个条件的那些
首先这些串之间不能有包含关系，也就是说如果在串上显式地被包含，就不能加入候选集合了
这个可以从前往后扫的时候维护出当前最靠后的位置，只把在这个位置之前的串加入
于是目前得到了一些互不相交的候选串
但是在这样的情况下仍然有可能被包含，那么我们就用上面提到的出现次数相等来判断
即这个串目前在候选集合中出现的次数=其在 \(t\) 串中出现的总次数即可
非常规题
发现一个串能够延续本质相当于在 \(AC\) 自动机上有一个没被打过标记的儿子可以走过去，而无限延伸需要自动机上有一个没被标记的环即可
CF1202E You Are Given Some Strings...
第一步就没有想到……
发现题目要求的是拼接 \(s\) 去匹配 \(t\)，那么可以拆分 \(t\) 来匹配 \(s\)
枚举 \(t\) 上的一个断点，断点前的一个后缀匹配一个 \(s\)，断点后的一个前缀匹配一个 \(s\)，那么两部分都转化为 \(AC\) 自动机可以维护的经典问题
一个没见过的重构套路——二进制分组
每次加入一个字符串时都新建一棵大小为 \(1\) 的 \(AC\) 自动机
然后用类似于 \(2048\) 一样的方式开始合并相同大小的自动机，那么最后留下的一定最多只有 \(log\) 个，而每个字符串最多经过 \(log\) 次重构
再来考虑删除的问题，发现维护的信息是具有可减性的，那么对于需要删除的串也建立一遍 \(AC\) 自动机然后减一减即可
但是实现起来会非常麻烦，最主要来源于平常的 \(AC\) 自动机默认根是零，而数组恰好也是零，而这里根不再是零时，数组相应地也要进行初始化的改变
遇到一个玄学问题，将 \(char\) 复制到 \(string\) 时会 \(RE\)，而如果采用初始化为空格之后采用 \(+\) 的方式来插入则不会有问题
\(update\)：现在来看一点儿也不玄学了好吧
Summary
- \(AC\) 自动机能干得事无非就是多模匹配，直接往这方面想即可
- 套路主要就是 \(dp\) 和树上问题，\(dp\) 经常容易漏掉
标签：AC,树上,匹配,trie,自动机,dp 来源： https://www.cnblogs.com/yang-cx/p/15652159.html