矩阵相关基本概念
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1、复共轭转置矩阵
矩阵 \(A\) 的复共轭转置记作 \(A^H\) ,定义为
共轭转置又叫 Hermitian
伴随,Hermitian
转置或Hermitian
共轭。满足 \(A^H=A\) 的正方复矩阵称为Hermitian
矩阵或共轭对称矩阵。
2、矩阵的内积
矩阵 \(A\) 和 \(B\) 的内积记作 \(\left \langle A,B \right \rangle\) ,定义为
3、矩阵的特殊运算
矩阵的指数定义为
矩阵的对数定义为
如果矩阵\(A\)的元素\(a_{ij}\)都是参数\(t\)的函数,则矩阵的导数定义为
矩阵的积分定义为
4、矩阵的二次型
任意一个正方矩阵 \(A\) 的二次型 \(x^HAx\) 为一实标量。在讨论矩阵\(A\)的二次型时,通常假定 \(A\) 为实对称矩阵或者复共轭对称矩阵(即Hermitian
矩阵)。
一个共轭对称矩阵\(A\)称为
- 正定矩阵,若二次型 \(x^HAx > 0\) ,\(\forall x \ne0\)
- 半正定矩阵,若二次型 \(x^HAx \ge 0\) ,\(\forall x \ne0\) (也称非负定)
- 负定矩阵,若二次型 \(x^HAx < 0\) ,\(\forall x \ne0\)
- 半负定矩阵,若二次型 \(x^HAx \le 0\) ,\(\forall x \ne0\) (也称非正定)
- 不定矩阵,二次型 \(x^HAx\) 既可能取正值又可能取负值
5、矩阵的迹
\(n\times n\) 矩阵 \(A\) 的对角元素之和称为 \(A\) 的迹,记作 \(tr(A)\),即
\(\bigstar\) 关于迹的等式
\(①\) \(tr(A\pm B)= tr(A)\pm tr(B)\)
\(②\) \(tr(cA) = c\ tr(A)\)
\(③\) \(tr(c_1A \pm c_2B ) = c_1\ tr(A) \pm c_2\ tr(B)\)
\(④\) 矩阵 \(A\) 的转置、复数共轭和复共轭转置的迹分别为
\(⑤\) 若矩阵 \(A\) 和 \(B\) 均为 \(m\times m\) 矩阵,且 \(B\) 非奇异,则
\(⑥\) \(tr(A^HA)=0\Leftrightarrow A=O_{m\times n}\)
\(⑦\) \(x^HAx=tr(Axx^H)\) 和 \(y^Hx=tr(xy^H)\)
\(⑧\) 分块矩阵的迹满足
\(⑨\) 迹等于特征值之和,即
\(⑩\) 对任何正整数 \(k\),有
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