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矩阵相关基本概念

作者:互联网

1、复共轭转置矩阵

矩阵 \(A\) 的复共轭转置记作 \(A^H\) ,定义为

AH=[a11a21am1a12a22am2a1na2namn]

共轭转置又叫 Hermitian伴随,Hermitian转置或Hermitian共轭。满足 \(A^H=A\) 的正方复矩阵称为Hermitian矩阵或共轭对称矩阵。

2、矩阵的内积

矩阵 \(A\) 和 \(B\) 的内积记作 \(\left \langle A,B \right \rangle\) ,定义为
A,B=AHB

3、矩阵的特殊运算

矩阵的指数定义为
exp(A)=k=01k!Ak
矩阵的对数定义为
log(InA)=k=01k!Ak
如果矩阵\(A\)的元素\(a_{ij}\)都是参数\(t\)的函数,则矩阵的导数定义为
dAdt=A˙=[da11dtda12dtda1ndtda21dtda22dtda2ndtdam1dtdam2dtdamndt]
矩阵的积分定义为
Adt=[a11dta12dta1ndta21dta22dta2ndtam1dtam2dtamndt]

4、矩阵的二次型

任意一个正方矩阵 \(A\) 的二次型 \(x^HAx\) 为一实标量。在讨论矩阵\(A\)的二次型时,通常假定 \(A\) 为实对称矩阵或者复共轭对称矩阵(即Hermitian矩阵)。

一个共轭对称矩阵\(A\)称为

5、矩阵的迹

\(n\times n\) 矩阵 \(A\) 的对角元素之和称为 \(A\) 的迹,记作 \(tr(A)\),即
tr(A)=a11+a22++ann=i=1naii

\(\bigstar\) 关于迹的等式

\(①\) \(tr(A\pm B)= tr(A)\pm tr(B)\)

\(②\) \(tr(cA) = c\ tr(A)\)

\(③\) \(tr(c_1A \pm c_2B ) = c_1\ tr(A) \pm c_2\ tr(B)\)

\(④\) 矩阵 \(A\) 的转置、复数共轭和复共轭转置的迹分别为
tr(AT)=tr(A)tr(A)=tr(AH)=[tr(A)]

\(⑤\) 若矩阵 \(A\) 和 \(B\) 均为 \(m\times m\) 矩阵,且 \(B\) 非奇异,则
tr(BAB1)=tr(B1AB)=tr(A)

\(⑥\) \(tr(A^HA)=0\Leftrightarrow A=O_{m\times n}\)

\(⑦\) \(x^HAx=tr(Axx^H)\) 和 \(y^Hx=tr(xy^H)\)

\(⑧\) 分块矩阵的迹满足
tr[ABCD]=tr(A)+tr(D)

\(⑨\) 迹等于特征值之和,即
tr(A)=λ1+λ2++λn

\(⑩\) 对任何正整数 \(k\),有
tr(Ak)=i=1nλik

标签:转置,tr,矩阵,HAx,Hermitian,相关,共轭,基本概念
来源: https://www.cnblogs.com/bite-an-orange/p/16513933.html