紫书学习 10.数学概念与方法--离散概率基础

古典概型及其应用

古典概型满足有限性和等可能性，常见的模型是抛硬币。

不求同年同月同日生

有n个人，求至少有两个人生日相同的概率。

每个人的生日有365种可能，因此样本的容量是\(365^n\)。

可以想到暴力的统计方法，恰好两人生日相同、恰好3人....恰好n人生日相同，相加即可，这样比较麻烦。

可以用间接法，先计算任意两个人生日都不相同的概率，再用1减去即可。

\[P=1-\frac{A_{365}^{n}}{365^n} \]

注意这里的n如果超过365，根据抽屉原理，就必然存在两个人生日相同了。

条件概率及其应用

条件概率公式如下：

\[P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \]

其中，\(P(A|B)\)表示事件A在事件B的条件下发生的概率，\(P(AB)\)表示A，B同时发生的概率，\(P(B)\)表示B发生的概率。

应用：Probability|Given - UVA 11181 - Virtual Judge (vjudge.net)

大意：有n个人走进一家商店，每个人会买东西的概率是\(p_i\)，最后有r个人买了东西，求出第i个人买了东西的概率。

分析：假设第i个人在有r个人买了东西的条件下买了东西的概率是\(P(A|B)\)，r个人买了东西的概率是\(P(B)\)，第i个人买了东西且r个人买了东西的概率是\(P(AB)\)，则可得

\[P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \]

\(P(B)\)​的计算方法：可以暴力求组合型枚举，枚举出是哪r个人买了东西，记录在q[i]中，得出表达式：

\[\prod p_i*(1-p_j) \]

其中下标i表示买了东西的，j对应没买的东西的。

\(P(AB)\)的计算方法：假设要计算的是第i个人买了东西且r个人买了东西的概率，可以先定下p[i]=1，再组合型枚举剩下的r-1个人，套类似\(P(B)\)的公式即可。

综合在一起，可以通过一次组合型枚举，枚举所有r个人买东西的方案，顺便就可以计算\(P(AB)\)。

CODE

const int N=25;
int n,r;
int q[N];
double p[N];
double f[N],tot;//f表示每个人对应的P(AB)，tot表示P(B)

void dfs(int k,int pos){
	if(k>r){
		double res=1;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(!q[i])res*=(1-p[i]);
			else res*=p[i];
		}

		tot+=res;
		for(int i=1;i<=n;i++)if(q[i])f[i]+=res;
		return;
	}
	
	for(int i=pos;i<=n;i++){
		q[i]=1;
		dfs(k+1,i+1);
		q[i]=0;
	}
}

int main(){
	int T=1;
	while(scanf("%d%d",&n,&r) && n){
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
		
		memset(f,0,sizeof(f));
		tot=0;
		dfs(1,1);
		
		printf("Case %d:\n",T++);
		for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.6lf\n",f[i]/tot);
	}
}

全概率公式及其应用

可以通过对样本空间的划分，得出概率的一个递推关系式，有点类似dp中对状态集合的划分。这里对样本空间的划分必须保证不重不漏。

以下为全概率公式：

\[P(A)=\sum P(A\mid B_i)*P(B_i) \]

紫书上的例子：假设考试考第\(k\)名的概率是\(P(B_k)\)，考第\(k\)名被妈妈表扬的概率是\(P(A\mid B_k)\)，因此被妈妈表扬的概率\(P(A)\)就可以用上述全概率公式求得。

应用：Double Patience - UVA 1637 - Virtual Judge (vjudge.net)

简单大意：有36张牌分成9堆，每堆4张牌，每次可以拿走牌堆顶部两张点数相同的牌，如果有多种拿法则等概率随机拿。如果最后拿完所有牌则游戏成功。给出牌堆，求成功的概率。

分析：可以用五进制数对牌堆每行有几张牌的状态进行压缩，例如初始状态(五进制数下)：444444444，最多会有\(5^9=1953125\)种状态，假设在当前状态下获胜的概率是\(f(state)\)，再根据每次拿牌的策略对样本空间进行划分，假设当前有tot种拿牌的方案，拿牌之后获胜的概率是\(f(t)\)，根据全概率公式有：

\[f(state)=\sum f(t)*\frac{1}{tot} \]

（这不就是就是dp、记搜吗）

写一个记忆化搜索即可。

CODE：

const int N=1953125;
double f[N];
int st[N];
char s[10][5][3];
int pow5[11];
int cnt[11];

double dp(int state){
	if(state==0)return 1;//成功
	if(st[state])return f[state];//记搜
	int tot=0;

	for(int i=1;i<=9;i++){
		if(!cnt[i])continue;
		for(int j=i+1;j<=9;j++){
			if(!cnt[j])continue;
			if(s[i][cnt[i]][0]==s[j][cnt[j]][0]){
				int t=state;
				t=t-pow5[i-1]-pow5[j-1];
				cnt[i]--; cnt[j]--;
				f[state]+=dp(t);//全概率公式
				cnt[i]++; cnt[j]++;
				tot++;
			}
		}
	}

	st[state]=1;
	if(!tot)return 0;//不能再操作说明失败了
	else return f[state]/=tot;//否则计算概率
}

int main(){
	pow5[0]=1;
	for(int i=1;i<=9;i++){
		pow5[i]=pow5[i-1]*5;//用来做"位"运算操作
		cnt[i]=4;//表示每行有多少张牌
	}
	while(scanf("%s",s[1][1])!=EOF){//多组测试数据
		memset(st,0,sizeof(st));
		memset(f,0,sizeof(f));
		for(int j=2;j<=4;j++)scanf("%s",s[1][j]);
		for(int i=2;i<=9;i++){
			for(int j=1;j<=4;j++){
				scanf("%s",s[i][j]);
			}
		}

		printf("%.6lf\n",dp(N-1));//从满牌开始递归
	}
	return 0;
}

标签：10,概率,紫书,个人,--,东西,int,state,AB
来源： https://www.cnblogs.com/tshaaa/p/16499870.html