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2022年高考北京卷数学压轴题最后一问解析

作者:互联网

已知 Q: a1, a2, ..., ak 为有限整数数列,给定正整数 m,若对 [1, m] 中任意的整数 n,Q 中存在一个连续子数列 ai, ai+1, ..., ai+j (j ≥ 0),使得 ai + ai+1 + ... + ai+j = n,则称 Q 为 m 连续可表数列. 
若 Q: a1, a2, ..., ak 为 20 连续可表数列,且 a1 + a2 + ... + ak < 20,求证:k ≥ 7.

证明:在Q 中,项数为 k 的连续子数列有 1 个(即 Q 自身也算作 Q 的子数列);项数为 k - 1 的连续子数列有 2 个;...;项数为 1 的连续子数列有 k 个. 则 Q 中连续子数列的总个数为 Sk := 1 + 2 + ... + k = k(k + 1)/2. 为描述方便,把连续子数列 ai, ai+1, ..., ai+j 简记为 Q(i, i+j),再记 s(i, i+j) = ai + ai+1 + ... + ai+j,并称 s(i, i+j) 为连续子数列 Q(i, i+j) 的和.

假设 k = 6 时存在满足条件的数列,由 S6 = 6(6 + 1)/2 = 21 = 20 + 1,以及 s(1, 6) < 20,可知:

①   6 个数中恰有一个为负数,记这个负数为 ag,Q 中除去 Q(g, g) 之外的 20 个连续子数列,它们各自的和两两不等,且正好取遍 1, 2, ..., 20.

若 1 < g < 6,Q 即为 a1, ..., ag-1, ag, ag+1, ..., a6,Q 中含有 ag 的连续子数列中和最大的显然为 Q(1, 6),即 Q 自身. 而 Q(1, 6) < 20,因此和等于 20 的连续子数列一定不含有 ag,且必定是 Q(1, g-1) 或 Q(g+1, 6) 之一,不失一般性,设 s(g+1, 6) = 20, 由 ① 可知 s(g-1, g) > 0,于是 s(g-1, 6) = s(g-1, g) + s(g+1, 6) > 20,这与 ① 矛盾. 故 g = 1 或 6. 

不失一般性,设 g = 1,即有 s(2, 6) = 20. 

以下结论同样成立:

②  s(i,j) ≠ -a1, 1 < i ≤ j ≤ 6.

因为,假若有某个 s(i, j) = -a1,此时,若 i = 2,有 s(1, j) = s(1, 1) + s(2, j) = a1 + (-a1)  = 0;若 i > 2,则有 s(1, j) = s(1, 1) + s(2, i-1) + s(i, j) = a1 + s(2, i-1) + (-a1) = s(2, i-1). 总是与 ① 矛盾.

对 Q 的全体子序列的和做求和运算,总和记为 s,一方面有:

s = s(1, 1) + s(2, 2) + s(3, 3) + s(4, 4) + s(5, 5) + s(6, 6) +
      s(1, 2) + s(2, 3) + s(3, 4) + s(4, 5) + s(5, 6) +
      s(1, 3) + s(2, 4) + s(3, 5) + s(4, 6) +
      s(1, 4) + s(2, 5) + s(3, 6) +
      s(1, 5) + s(2, 6) +
      s(1, 6)

= 6a1 + 10a2 + 12a3 + 12a4 + 10a5 + 6a6
= 6a1 + 6·s(2, 6) + 4a2 + 6a3 + 6a4 + 4a5
= 120 + 6a1 + 4a2 + 6a3 + 6a4 + 4a5

另一方面有:

s = a1 + 1 + 2 + ... + 20 = 210 + a1

于是,有

③    4a2 + 6a3 + 6a4 + 4a5 = 90 - 5a1.

由此易知 a1 是偶数. 由 a1 ≠ -1,可知 s(1, 6) = s(1, 1) + s(2, 6) = a1 + 20 < 19. 而由 ① 有 s(1, 2) > 0,即 a2 > -a1 ≥ 2,于是只能是 s(2, 5) = 19,即 a6 = 1. 于是由 ③ 有

4·19 + 2(a3 + a4) = 90 - 5a1,即 2·s(3, 4) = 14 - 5a1.

而 s(3, 4) = s(2, 5) - a2 - a5 ≤ 19 - 3 - 2 = 14. 于是

-5a1 ≤ 14,即 a1 ≥ -14/5. 结合 a1 是偶数,可知a1 = -2.

由 ② 可知,若 j ≥ i > 1,则 s(i, i) ≠ 2,即只能是存在某个 j 使得 s(1, j) = 2,即 s(2, j) = 4,易知 j 只能为 2(对应 a2 = 4) 或 3(对应 a2 = 3 且 a4 = 1),由 a6 = 1 可知,j = 2,即 a2 = 4.

目前 Q 为 -2, 4, a3, a4, a5, 1. 其中 a3, a4, a5 都不能为 2,也不能为 1,因此为了表示 3,只能是 a3, a4, a5 中某一个为 3,a5 ≠ 3(否则 s(5, 6) = 4 = a2),即有 a3 = 3 或 a4 = 3. 

若 a3 = 3,Q 为 -2, 4, 3, a4, a5, 1.  此时,由 -2 + 4 + 3 = 5 知 5 对应 Q(1, 3),且 1, 2, 3, 4 都是可表数,故 a4 ≥ 6,a5 ≥ 6,且有 a4 + a5 = 20 - 4 - 3 - 1 = 12,由此得出 a4 = a5 = 6,与 ① 矛盾.

只剩下 a4 = 3 的情形,即 Q 为 -2, 4, a3, 3, a5, 1.  此时,a3 + a5 = 12,且 1, 2, 3, 4 都是可表数,为表示 5,a3 和 a5 必有一个等于 5.

若 a3 = 5,Q 为 -2, 4, 5, 4, 7, 1.  其中 s(1, 3) = s(5, 5) = 7,与 ① 矛盾.

若 a5 = 5,Q 为 -2, 4, 7, 4, 5, 1.  其中 s(1, 3) = s(4, 5) = 9,与 ① 矛盾.

综上可知,k ≥ 7.

 

附言:

此题的解法思路有一点类似于 IMO 1977 第 2 题探析,都是横向和纵向求和.

 

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来源: https://www.cnblogs.com/readalps/p/16485601.html